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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Umformung von SIN-Funktion
Umformung von SIN-Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Umformung von SIN-Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Do 23.12.2004
Autor: Molaf

Hallo

ich habe leider gerade keine Formelsammlung griffbereit. Kann mir jemand sagen wie ich das Produkt zweier SIN-Fkt. umformen kann? Also:

sin(a) * sin(b) = ?

Gruss

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Umformung von SIN-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Do 23.12.2004
Autor: Paulus

Hallo Molaf

[willkommenmr]

Aber, aber!

Als dipl. Math. müsste man das doch ganz schnell selber herleiten können!

So, wie ich das eben gemacht habe (... und ich bin kein dipl. Math!).

Nämlich so:

[mm] $e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)$ [/mm]
[mm] $e^{-i\alpha}=\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin(\alpha)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \sin(\alpha)=\bruch{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}$ [/mm]

Das kannst du auch mit Beta an Stelle von Alpha machen, und nach einigen einfachen Umrechnungen kommst du ganz leicht auf das Folgende:

[mm] $\sin(\alpha)*\sin(\beta)=\bruch{1}{2}\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)$ [/mm] :-)

P.S. Wir wohnen ganz in der Nähe! Ich bin in Guntershausen bei Aadorf zu Hause!

Ich wünsche noch besinnliche Feiertage und ein erfolgreiches 2005!

Mit lieben Grüssen

Paul


Bezug
                
Bezug
Umformung von SIN-Funktion: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:25 Do 23.12.2004
Autor: Molaf

Hallo Paulus

vielen Dank für deine Antwort.

Es ist hat doch einfacher jemanden zu fragen, als sich mal etwas zu überlegen. ;-)

Danke auch für die Herleitung.

Molaf

PS: Ich komme heute noch nach Guntershausen... Aber nur für ganz ganz kurze Zeit. Im ICN aus Rtg Zürich.  :-)
Bezug
                
Bezug
Umformung von SIN-Funktion: Falscher Ansatz?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Do 23.12.2004
Autor: Molaf


> Hallo Molaf
>  
> [willkommenmr]
>  
> Aber, aber!
>  
> Als dipl. Math. müsste man das doch ganz schnell selber
> herleiten können!
>  
> So, wie ich das eben gemacht habe (... und ich bin kein
> dipl. Math!).
>  
> Nämlich so:
>  
> [mm]e^{i\alpha}=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)[/mm]
>  [mm]e^{-i\alpha}=\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)[/mm]

Ist es nicht umgekehrt?
[mm] e^{\pm i \alpha} [/mm] = [mm] \sin(\alpha) \pm i\cos(\alpha) [/mm]

>  
> [mm]\Rightarrow e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin(\alpha)[/mm]
>  
>
> [mm]\Rightarrow \sin(\alpha)=\bruch{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}[/mm]
>  
>
> Das kannst du auch mit Beta an Stelle von Alpha machen, und
> nach einigen einfachen Umrechnungen kommst du ganz leicht
> auf das Folgende:
>  
>
> [mm]\sin(\alpha)*\sin(\beta)=\bruch{1}{2}\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right)[/mm]
> :-)

Damit komme ich zu dem Ergebnis:
[mm] \sin(\alpha) [/mm] * [mm] \sin(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\sin(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] + [mm] \sin(\alpha [/mm] - [mm] \beta)) [/mm]

Wenn nun aber gilt: [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] dann folgt daraus:

[mm] \sin^{2}(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\sin(2 \alpha) [/mm] + [mm] \sin(0)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\sin(2 \alpha) [/mm]

Die linke Seite hat den Wertebereich [0,1]
Die rechte Seite den Wertebereich [mm] [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}] [/mm]

Da kann doch was nicht stimmen?!?


>  
> P.S. Wir wohnen ganz in der Nähe! Ich bin in Guntershausen
> bei Aadorf zu Hause!
>  
> Ich wünsche noch besinnliche Feiertage und ein
> erfolgreiches 2005!
>  
> Mit lieben Grüssen
>  
> Paul
>  
>
>  

Bezug
                        
Bezug
Umformung von SIN-Funktion: Richtiger Ansatz!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Do 23.12.2004
Autor: Paulus

Hallo Molaf

Nein, mein Ansatz war schon richtig. Und Euler hat sich wahrscheinlich auch nicht geirrt!

Du hast ja selber gesehen, dass deine Formel zum Beispiel für [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \beta$ [/mm] nicht plausibel ist.

Setze das mal bei meinem Resultat eine:

[mm] $\sin(\alpha)*\sin(\beta)=\bruch{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$ [/mm]

Also mit [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha$: [/mm]

[mm] $\sin(\alpha)*\sin(\alpha)=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(\cos(\alpha-\alpha)-\cos(\alpha+\alpha))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(\cos(0)-\cos(2\alpha))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(1-\cos(2\alpha))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(1-(\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(1-\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}((1-\cos^2(\alpha))+\sin^2(\alpha))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}(\sin^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))=$ [/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}*2\sin^2(\alpha)=$ [/mm]
[mm] $\sin^2(\alpha)$ [/mm]

Das sieht doch recht plausibel aus, oder nicht? ;-)

Mit lieben Grüssen

Paul

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