Umgebung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute,
ich habe mal wieder einen anderen Aufgabentyp bei dem ich nicht ganz zurecht komme
Zeige dass f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x+x^2sin\bruch{1}{x}, & \mbox{wenn } x\not= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{wenn } x= \mbox{ 0} \end{cases}
[/mm]
in keiner Umgebung von 0 injektiv ist.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=1+2xsin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x}).
[/mm]
Die einzige Nullstelle die ich gefunden habe ist 0.
[mm] 1+2xsin(\bruch{1}{x})-cos(\bruch{1}{x})=0 [/mm] für x=0
[mm] 1+2*0sin(\bruch{1}{0})-cos(0)
[/mm]
=1-1=0
Ich gehe davon aus dass man das ausrechnen muss, aber wie kann ich die Aufgabe beweisen??
|
|
| |
|
Hallo.
> Zeige dass f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x+x^2sin\bruch{1}{x}, & \mbox{wenn } x\not= \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{wenn } x= \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
>
> in keiner Umgebung von 0 injektiv ist.
Wenn ich richtig informiert bin, enthält eine Umgebung von 0 ein offenes Intervall der Form [mm]]-\epsilon,\epsilon[[/mm]
Sei [mm]\epsilon>0[/mm] die Obergrenze eines solchen Intervalls, so findet sich in jedem Fall ein x mit [mm]0
[mm]f'(x)=1+2x\sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x})[/mm]
Zu jedem [mm]\frac{1}{\epsilon}[/mm] findet sich ein [mm]n \in N[/mm] mit [mm]n\cdot{}2\pi>\frac{1}{\epsilon}[/mm], also auch ein [mm]x[/mm] mit [mm]0
Für dieses x ist f'(x)=0 (da [mm]\sin(\frac{1}{x})=0[/mm] und [mm]\cos(\frac{1}{x})=1[/mm]).
[mm]f''(x)=2\sin(\frac{1}{x})-\frac{2}{x}\cos(\frac{1}{x})-\frac{1}{x^2}\sin(\frac{1}{x})[/mm]
Für die fraglichen Nullstellen der ersten Ableitung ergibt sich der Term
[mm]\frac{-2}{x}[/mm] (da wiederum [mm]\sin(\frac{1}{x})=0[/mm] und [mm]\cos(\frac{1}{x})=1[/mm]), welcher stets kleiner als 0 ist.
Da sich in jeder Umgebung von 0 Extremstellen befinden, ist die Funktion in keiner Umgebung von 0 injektiv.
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die "Beispiellösung"!
Jemand sagte mir auch, dass rein intuitiv die Funktion um 0 in "Schlangen" schlägt, welche Extrema erzeugen, aufgrund derer die Fkt. nicht injektiv ist. Und hat mir geraten im inneren von ]0,r[ nach Stellen zu suchen mit [mm] f(x_{0})=f(x_{1}) [/mm] bei [mm] x_{0}<> x_{1}.
[/mm]
Schönen Tag noch!
|
|
|
|
