Umgebung eines Punktes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Fr 01.06.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zeige, dass es eine Umgebung [mm] U\times [/mm] V [mm] \subset \IR\times \IR^2 [/mm] von dem Punkt [mm] (x,y_1,y_2)=(2,-1,0) [/mm] gibt, in der die Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm] x^3+y_1^3+y_2^3-7=0
[/mm]
[mm] xy_1+y_1y_2+xy_2+2=0
[/mm]
eindeutig durch eine stetige Funktion [mm] g:U\to [/mm] V parametrisiert werden kann. |
Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe etwas auf die Sprünge helfen? ich habe noch keine richtige Idee was hier zu machen ist.
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Zeige, dass es eine Umgebung [mm]U\times[/mm] V [mm]\subset \IR\times \IR^2[/mm]
> von dem Punkt [mm](x,y_1,y_2)=(2,-1,0)[/mm] gibt, in der die
> Lösungsmenge des Gleichungssystems
>
> [mm]x^3+y_1^3+y_2^3-7=0[/mm]
> [mm]xy_1+y_1y_2+xy_2+2=0[/mm]
>
> eindeutig durch eine stetige Funktion [mm]g:U\to[/mm] V
> parametrisiert werden kann.
> Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe etwas auf die Sprünge
> helfen? ich habe noch keine richtige Idee was hier zu
> machen ist.
>
Zeige, daß die Ableitungen [mm]y_{1}'\left(x\right), \ y_{2}'\left(x\right)[/mm] an der Stelle x=0 nicht verschwinden.
Setze dazu [mm]y_{1}=y_{1}\left(x}\right), \ y_{2}=y_{2}\left(x}\right)[/mm].
Differenziere dann die gegebenen Gleichungen nach x
und löse nach [mm]y_{1}'\left(x\right), \ y_{2}'\left(x\right)[/mm] auf.
Darüber hinaus muss der gegebene Punkt
die beiden gegebenen Gleichungen erfüllen.
> LG
> heinze
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 01.06.2012 | | Autor: | heinze |
Wenn ich wüsste was y'(x) ist, dann wäre die Aufgabe kein Ding mehr!
Ich kann die Gleichungen nach [mm] x,y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] ableiten. Was aber mit y'(x) gemeint ist, ist mir nicht klar!
Stelle ich nach [mm] y_1 [/mm] um und leite dann nch x ab?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Wenn ich wüsste was y'(x) ist, dann wäre die Aufgabe kein
> Ding mehr!
>
> Ich kann die Gleichungen nach [mm]x,y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] ableiten. Was
> aber mit y'(x) gemeint ist, ist mir nicht klar!
>
> Stelle ich nach [mm]y_1[/mm] um und leite dann nch x ab?
>
Nein.
Setze [mm]y_{1}=y_{1}\left(x\right), \ y_{2}=y_{2}\left(x\right)[/mm].
Dann sehen die zu differenzierenden Gleichungen so aus:
[mm] x^3+\left( \ y_{1}\left(x\right) \ \right)^3+\left( \ y_{2}\left(x\right) \ \right)^3-7=0[/mm]
[mm] xy_{1}\left(x\right)+y_{1}\left(x\right)y_{2}\left(x}\right)+xy_{2}\left(x\right)+2=0[/mm]
Diese sind jetzt nach x zu differnzieren.
> LG
> heinze
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 01.06.2012 | | Autor: | heinze |
Vielen dank!
Woher weiß ich, dass ich [mm] y_1=y_1(x) [/mm] setzen darf?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil y1 und y2 von x abhaengen, das sagen doch die Gleichungen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 02.06.2012 | | Autor: | triad |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Ich leite nach x ab:
0 = $x^3+\left( \ y_{1}\left(x\right) \ \right)^3+\left( \ y_{2}\left(x\right) \ \right)^3-7 $
0 = $3x^2 + 3y_1^2(x) * y_1'(x) + 3y_2^2(x) * y_2'(x)$ \gdw
0 = $x^2 + y_1^2(x) * y_1'(x) + y_2^2(x) * y_2'(x)$ \gdw
$-x^2 - y_2^2(x) * y_2'(x) = y_1^2(x) * y_1'(x)$ \gdw
y_1'(x) = \bruch{-x^2 - y_2^2(x) * y_2'(x)}{y_1^2(x)}
\vdots
y_2'(x) = \bruch{-x^2 - y_1^2(x) * y_1'(x)}{y_2^2(x)}
Ableiten nach x: Dreimal Produktregel in den ersten drei Summanden
$ xy_{1}\left(x\right)+y_{1}\left(x\right)y_{2}\left(x}\right)+xy_{2}\left(x\right)+2=0 $
y_1(x)+xy_1'(x) + y_1'(x)y_2(x)+y_2'(x)y_1(x) + $y_2(x)+xy_2'(x) = 0$
Stimmt das soweit?
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Hallo triad,
> Hallo,
>
> Ich leite nach x ab:
>
> 0 = [mm]x^3+\left( \ y_{1}\left(x\right) \ \right)^3+\left( \ y_{2}\left(x\right) \ \right)^3-7[/mm]
>
> 0 = [mm]3x^2 + 3y_1^2(x) * y_1'(x) + 3y_2^2(x) * y_2'(x)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> 0 = [mm]x^2 + y_1^2(x) * y_1'(x) + y_2^2(x) * y_2'(x)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]-x^2 - y_2^2(x) * y_2'(x) = y_1^2(x) * y_1'(x)[/mm] [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]y_1'(x)[/mm] = [mm]\bruch{-x^2 - y_2^2(x) * y_2'(x)}{y_1^2(x)}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]y_2'(x)[/mm] = [mm]\bruch{-x^2 - y_1^2(x) * y_1'(x)}{y_2^2(x)}[/mm]
>
>
>
> Ableiten nach x: Dreimal Produktregel in den ersten drei
> Summanden
>
> [mm]xy_{1}\left(x\right)+y_{1}\left(x\right)y_{2}\left(x}\right)+xy_{2}\left(x\right)+2=0[/mm]
>
> [mm]y_1(x)+xy_1'(x)[/mm] + [mm]y_1'(x)y_2(x)+y_2'(x)y_1(x)[/mm] +
> [mm]y_2(x)+xy_2'(x) = 0[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 02.06.2012 | | Autor: | triad |
und wozu war das jetzt gut?
> Zeige, daß die Ableitungen $ [mm] y_{1}'\left(x\right), [/mm] \ [mm] y_{2}'\left(x\right) [/mm] $ an der Stelle x=0 nicht verschwinden.
Wie, wenn ich nicht weiss, was [mm] y_1(x), y_2(x) [/mm] ist?
> Darüber hinaus muss der gegebene Punkt die beiden gegebenen Gleichungen erfüllen.
Also der gegebene Punkt [mm] (x,y_1,y_2)=(2,-1,0) [/mm] erfüllt die beiden gegebenen Gleichungen [mm] $x^3+y_1^3+y_2^3-7=0$ [/mm] und [mm] $y_1+y_1y_2+xy_2+2=0$, [/mm] das ist leicht nachzurechnen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du hast 2 Gl. fuer [mm] y_1' [/mm] und [mm] y_2'
[/mm]
du kennst [mm] x,y_1,y_2 [/mm] bei 0, also sollte es dir moeglich sein die y' zu berechnen. niemand verlangt, dass du explizit aufloest, nur ,dass es geht. dazu sieh noch mal euren satz ueber implizite fkt nach, der scheint dir nicht klar zu sein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 03.06.2012 | | Autor: | triad |
ok, also ich habe jetzt die obere abgeleitete und nach [mm] y_1' [/mm] umgestellte Gleichung $ [mm] y_1'(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-x^2 - y_2^2(x) \cdot{} y_2'(x)}{y_1^2(x)} [/mm] $ in die untere abgeleitete
Gleichung $ [mm] y_1(x)+xy_1'(x) [/mm] $ + $ [mm] y_1'(x)y_2(x)+y_2'(x)y_1(x) [/mm] $ + $ [mm] y_2(x)+xy_2'(x) [/mm] = 0 $ eingesetzt und [mm] (x,y_1,y_2)=(2,-1,0) [/mm] ebenfalls überall eingesetzt und erhalte damit [mm] y_2'=9, [/mm] dies eingesetzt in
$ [mm] y_1'(x) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-x^2 - y_2^2(x) \cdot{} y_2'(x)}{y_1^2(x)} [/mm] $ liefert [mm] y_1'=4
[/mm]
Damit sind die Ableitungen $ [mm] y_{1}'\left(x\right), [/mm] \ [mm] y_{2}'\left(x\right) [/mm] $ nicht Null?
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Hallo triad,
> ok, also ich habe jetzt die obere abgeleitete und nach [mm]y_1'[/mm]
> umgestellte Gleichung [mm]y_1'(x)[/mm] = [mm]\bruch{-x^2 - y_2^2(x) \cdot{} y_2'(x)}{y_1^2(x)}[/mm]
> in die untere abgeleitete
>
> Gleichung [mm]y_1(x)+xy_1'(x)[/mm] + [mm]y_1'(x)y_2(x)+y_2'(x)y_1(x)[/mm] +
> [mm]y_2(x)+xy_2'(x) = 0[/mm] eingesetzt und [mm](x,y_1,y_2)=(2,-1,0)[/mm]
> ebenfalls überall eingesetzt und erhalte damit [mm]y_2'=9,[/mm]
> dies eingesetzt in
>
> [mm]y_1'(x)[/mm] = [mm]\bruch{-x^2 - y_2^2(x) \cdot{} y_2'(x)}{y_1^2(x)}[/mm]
> liefert [mm]y_1'=4[/mm]
>
Das liefert eher [mm]y_{1}'=-4[/mm]
> Damit sind die Ableitungen [mm]y_{1}'\left(x\right), \ y_{2}'\left(x\right)[/mm]
> nicht Null?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Hier ist der Satz über implizit def. Funktionen gefragt !!
FRED
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