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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Do 31.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und eine [mm] $C^1$-Funktion [/mm] $f:] [mm] 1-\epsilon [/mm] , 1+ [mm] \epsilon[ \to [/mm] R$ gibt mit $f(1) = 1$ und [mm] $x^{f(x)} [/mm] = [mm] f(x)^x$ [/mm] für alle $ x [mm] \in [/mm] ] [mm] 1-\epsilon [/mm] , 1+ [mm] \epsilon[$ [/mm] |
Meine Idee
sei $f $ stetig
[mm] $\Rightarrow [/mm] $ für
[mm] $\lim_{n\to \infty}x_n \to [/mm] 1 [mm] \Rightarrow \lim_{n \to \infty}f(x_n) \to [/mm] f(1) = 1$
dann gilt
$ [mm] \lim_{n \to \infty} x_n^{f(x_n)} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} f(x_n)^{x_n} [/mm] = 1$
Das ist aber der Grenzwert, ich muss es für ein $ x [mm] \in [/mm] ] [mm] 1-\epsilon [/mm] , 1+ [mm] \epsilon[$ [/mm] zeigen.
Jetzt habe ich einfach gedacht, sei $ [mm] n_0>N \in \mathbb{N} [/mm] $,sodass $ [mm] \frac{1}{n_0}>\frac{1}{\epsilon}$, [/mm] dann gilt für
$ [mm] n_1>n_0 ,\, \, x_{n_1}^{f(x_n_1)} [/mm] = [mm] f(x_n_1)^{x_n_1} [/mm] $
Ich weiß, ich habe viel Salat da oben stehen, kann mir jemand helfen ?
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Fr 01.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadia!
> Zeigen Sie, dass es ein [mm]\epsilon > 0[/mm] und eine [mm]C^1[/mm]-Funktion
> [mm]f:] 1-\epsilon , 1+ \epsilon[ \to R[/mm] gibt mit [mm]f(1) = 1[/mm] und
> [mm]x^{f(x)} = f(x)^x[/mm] für alle [mm]x \in ] 1-\epsilon , 1+ \epsilon[[/mm]
>
> Meine Idee
>
> sei [mm]f[/mm] stetig
Hmm, das Problem ist, dass du erst einmal die Existenz einer solchen Funktion f zeigen musst, bevor du über ihre Stetigkeit reden kannst.
> [mm]\Rightarrow[/mm] für
> [mm]\lim_{n\to \infty}x_n \to 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}f(x_n) \to f(1) = 1[/mm]
>
> dann gilt
> [mm]\lim_{n \to \infty} x_n^{f(x_n)} = \lim_{n \to \infty} f(x_n)^{x_n} = 1[/mm]
>
> Das ist aber der Grenzwert, ich muss es für ein [mm]x \in ] 1-\epsilon , 1+ \epsilon[[/mm]
> zeigen.
>
> Jetzt habe ich einfach gedacht, sei [mm]n_0>N \in \mathbb{N} [/mm],sodass
> [mm]\frac{1}{n_0}>\frac{1}{\epsilon}[/mm], dann gilt für
>
> [mm]n_1>n_0 ,\, \, x_{n_1}^{f(x_n_1)} = f(x_n_1)^{x_n_1}[/mm]
>
> Ich weiß, ich habe viel Salat da oben stehen, kann mir
> jemand helfen ?
Tipp: Wende den Satz von der impliziten Funktion an.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke !! noch einen Versuch,
Sei $F(x,f(x)) = x^{f(x)} - f(x)^x $ nach Voraussetzung, gilt $F(1,f(1)) = 1^{f(1)} - f(1)^1 = 0 $
Nun untersuche $\frac{\partial F}{\partial y} (1,1)}\neq 0 \Rightarrow $
mit dem Satz der I.F eine Umgebung $v_\epsilon$ um 1, sodass gilt $F(x,f(x) = x^{f(x)} - f(x)^x =0 \forall x \in \vepsilon $
Richtig?
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Fr 01.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke !! noch einen Versuch,
>
>
> Sei [mm]F(x,f(x)) = x^{f(x)} - f(x)^x[/mm] nach Voraussetzung, gilt
> [mm]F(1,f(1)) = 1^{f(1)} - f(1)^1 = 0[/mm]
> Nun untersuche [mm]\frac{\partial F}{\partial y} (1,1)}\neq 0 \Rightarrow [/mm]
>
> mit dem Satz der I.F eine Umgebung [mm]v_\epsilon[/mm] um 1, sodass
> gilt [mm]F(x,f(x) = x^{f(x)} - f(x)^x =0 \forall x \in \vepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Richtig?
Nein.
Es muß Dir doch auffallen, dass Du mit " .....Sei $ F(x,f(x)) = x^{f(x)} - f(x)^x $......." die Funktion f schon verwendest, aber deren Existenz sollst Du doch zeigen !!
Setze $F(x,y):=x^y-y^x$ für x,y>0. Zeige:
1. F(1,1)=0.
2. $ \frac{\partial F}{\partial y} (1,1)}\neq 0 $
Dann folgt aus dem Satz über implizit definierte Funktionen:
Es gibt ein \epsilon > 0 und genau eine stetig differenzierbare Funktion $ f:] 1-\epsilon , 1+ \epsilon[ \to \IR $ mit
f(1)=1 und F(x,f(x))=0 für alle $ x \in ] 1-\epsilon , 1+ \epsilon[ $
FRED
>
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> Lg
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> Nadia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja genau :) , das wollte ich eigentlich auch machen.
Sei
$ F(x,y) = [mm] x^y- y^x [/mm] $
Es gilt für F(1,1) = 0.
Für $ [mm] \frac{\partial F}{\partial y} [/mm] = [mm] (x^y)*log(x)- y^{x-1} \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial y}(1,1) [/mm] = [mm] (1^1)*log(1)- 1^{1-1} [/mm] = 1 [mm] \neq [/mm] 0 $
Und mit dem Satz über implizit Funktionen folgt die Behauptung.
Richtig?
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Fr 01.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja genau :) , das wollte ich eigentlich auch machen.
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> Sei
> [mm]F(x,y) = x^y- y^x[/mm]
> Es gilt für F(1,1) = 0.
>
> Für [mm]\frac{\partial F}{\partial y} = (x^y)*log(x)- y^{x-1} \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial y}(1,1) = (1^1)*log(1)- 1^{1-1} = 1 \neq 0[/mm]
Die Ableitung von [mm] y^x [/mm] stimmt nicht und Du hast einen Vorzeichenfehler
FRED
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> Und mit dem Satz über implizit Funktionen folgt die
> Behauptung.
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> Richtig?
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> Lg
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> Nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank!!
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