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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 31.07.2007 | | Autor: | james54 |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Umgebungen:
Uɛ1 (a1) mit ɛ1=2 und a1= -3/2 und Uɛ2 (a2) mit ɛ2= 5/4 und a2= 3/4
Bilden Sie den Durchschnitt dieser beiden Umgebungen, Angabe in Mengen- und Intervallschreibweise
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Benötige wieder einmal eure Hilfe.
Habe nach Aufzeichnen am Zahlenstrahl den Durchschnitt der beiden Umgebungen im Intervall ] -1/2 ; 1/2 [ gefunden. Bin mir nun nicht sicher ob dies so stimmt, weil ich auf rechnerischem Weg keine bzw. diese ] -1/2 ; 1/2 [ Lösung nicht finde.
Vielen Dank für eure Hilfe!
james54
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> Gegeben seien zwei Umgebungen:
> [mm] U_{\varepsilon_1} (a_1) [/mm] mit [mm] \varepsilon [/mm] _1=2 und [mm] a_1= [/mm] -3/2 und [mm] U_{\varepsilon_2}(a_2) [/mm] mit [mm] {\varepsilon_2}= [/mm] 5/4 und [mm] a_2= [/mm] 3/4
>
> Bilden Sie den Durchschnitt dieser beiden Umgebungen,
> Angabe in Mengen- und Intervallschreibweise
> Habe nach Aufzeichnen am Zahlenstrahl den Durchschnitt der
> beiden Umgebungen im Intervall ] -1/2 ; 1/2 [ gefunden.
> Bin mir nun nicht sicher ob dies so stimmt, weil ich auf
> rechnerischem Weg keine bzw. diese ] -1/2 ; 1/2 [
> Lösung nicht finde.
Hallo,
Die Lösung, die Du gefunden hast, stimmt. Daraus schließe ich, daß Du verstanden hast, was eine Umgebung eines Punktes ist.
Mit ] -1/2 ; 1/2 [ lieferst Du die Schnittmenge der beiden Umgebungen, [mm] U_{\varepsilon_1} (a_1) \cap U_{\varepsilon_2}(a_2), [/mm] in der Intervallschreibweise.
Du sollst sie nun ja auch noch in Mengenschreibweise angeben: ] -1/2 ; 1/2 [ [mm] =\{x \in \IR | \underbrace{...}_{die. x .zwischen.-1/2.und.1/2}\}
[/mm]
Nun zur Berechnung, oder nennen wir es besser "zu den Formalitäten".
Hier gilt es das, was Du Dir anhand der Zeichnung überlegt hast, in Buchstaben zu Papier zu bringen.
[mm] U_{\varepsilon_1} (a_1) =]a_1-\varepsilon_1,a_1+\varepsilon_1[ =\{x\in \IR | a_1-\varepsilon_1
[mm] U_{\varepsilon_2} (a_2) =]a_2-\varepsilon_2,a_2+\varepsilon_2[ =\{x\in \IR | a_2-\varepsilon_2
In der Schnittmenge [mm] U_{\varepsilon_1} (a_1) \cap U_{\varepsilon_2}(a_2) [/mm] liegen diejenigen reellen Zahlen, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
A. Gehen wir also davon aus, daß x in der Schnittmenge liegt.
Dann gilt [mm] -\bruch{7}{2}
Weil [mm] -\bruch{7}{2}<-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}<2, [/mm] erhält man
[mm] -\bruch{7}{2}<-\bruch{1}{2}
also ist [mm] -\bruch{1}{2}
Nun müssen wir kurz in uns gehen und überlegen, was wir nun gezeigt haben.
Wir haben gezeigt, daß jedes Element aus dem Schnitt im Intervall ] -1/2 ; 1/2 [ liegt.
Also haben wir gezeigt, daß [mm] U_{2} (-\bruch{3}{2}) \cap U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}) [/mm] eine Teilmenge von ] -1/2 ; 1/2 [ ist,
in Zeichen [mm] U_{2} (-\bruch{3}{2}) \cap U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}) \subseteq [/mm] ] -1/2 ; 1/2 [.
B. Um die Gleichheit der Mengen zu beweisen, müssen wir noch zeigen, daß umgekehrt auch jedes Element aus ] -1/2 ; 1/2 [ in [mm] U_{2} (-\bruch{3}{2}) \cap U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}) [/mm] liegt.
Sei x [mm] \in [/mm] ] -1/2 ; 1/2 [.
Dann gilt [mm] -\bruch{1}{2}
Folglich gilt [mm] -\bruch{7}{2}
Also ist [mm] x\in U_{2} (-\bruch{3}{2}) [/mm] und [mm] x\in U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}),
[/mm]
d.h. [mm] x\in U_{2} (-\bruch{3}{2}) \cap U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}) [/mm] .
Insgesamt liefert B. ] -1/2 ; 1/2 [ [mm] \subseteq U_{2} (-\bruch{3}{2}) \cap U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}).
[/mm]
Mit A. und B. ist gezeigt ] -1/2 ; 1/2 [= [mm] U_{2} (-\bruch{3}{2}) \cap U_{\bruch{5}{4}}(\bruch{3}{4}).
[/mm]
Das ist jetzt ziemlich aufgeplustert. Ich weiß natürlich nicht, ob Du die Gleichheit der Mengen so genau beweisen mußt. Am Studienanfang muß man's normalerweise.
Du siehst, daß ich nicht großartig "gerechnet" habe. Ich habe ausgenutzt, daß ich weiß, wie die Zahlen auf dem Zahlenstrahl angeordnet sind.
Gruß v. Angela
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