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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:24 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Wie ist das dann mit einer Umgebungsbasis bezüglich der Produkttopologie? |
Wenn ich X [mm] \times [/mm] Y mit Produkttopologie der topologischen Räume X,Y habe
B (x) ist die Umgebungsbasis in X [mm] \times [/mm] Y. [mm] (x=(x_1,x_2)) [/mm] Wie hängt diese mit der Umgebungsbasis [mm] B_1 (x_1) [/mm] in X und [mm] B_2 (x_2) [/mm] in Y zusammen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:47 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Wie ist das dann mit einer Umgebungsbasis bezüglich der
> Produkttopologie?
>
> Wenn ich X [mm]\times[/mm] Y mit Produkttopologie der topologischen
> Räume X,Y habe
> B (x) ist die Umgebungsbasis in X [mm]\times[/mm] Y. [mm](x=(x_1,x_2))[/mm]
> Wie hängt diese mit der Umgebungsbasis [mm]B_1 (x_1)[/mm] in X und
> [mm]B_2 (x_2)[/mm] in Y zusammen?
Sprich immer von EINER Umgebungsbasis von einem Punkt, nicht von "der" Umgebungsbasis.
Sind $B(x)$ und $B(y)$ Umgebungsbasen von [mm] $x\in [/mm] X$ bzw. [mm] $y\in [/mm] Y$, so ist eine Umgebungsbasis von [mm] $(x,y)\in X\times [/mm] Y$ gegeben durch
[mm] $B((x,y)):=\{U_x\times U_y\;|\;U_x\in B(x)\,,\,U_y\in B(y)\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:23 Fr 10.05.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
danke für die "Definition".
Aber ist es überhaupt eine Definition oder eine Folgerung?
Denn in Skriptum steht nichts davon.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Fr 10.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> danke für die "Definition".
> Aber ist es überhaupt eine Definition oder eine
> Folgerung?
> Denn in Skriptum steht nichts davon.
Was meinst du mit Definition?
Ich habe eine "Bemerkung" formuliert:
Sind $B(x)$ und $B(y)$ Umgebungsbasen von [mm] $x\in [/mm] X$ beziehungsweise [mm] $y\in [/mm] Y$, so ist
[mm] $\{U_x\times U_y\;|\;U_x\in B(x)\,,\,U_y\in B(y)\}$
[/mm]
eine Umgebungsbasis von $(x,y)$ in [mm] $X\times [/mm] Y$.
(Diese Umgebungsbasis von $(x,y)$ hab ich $B((x,y))$ genannt.)
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