Umkehr Fkt. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | | Mit Hilfe der Exponentialreihe: [mm] exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!} [/mm] und der Umkehrfkt. [mm] ln=exp^{-1} [/mm] zeige man: [mm] \bruch{ln(n)}{n} \to [/mm] 0 [mm] (n\to\infty). [/mm] indem zu [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] \bruch{ln(n)}{n} <\epsilon [/mm] für alle [mm] n>n_{0}. [/mm] |
Hallo!
So, hier mal mein Lösungsansatz:
Da [mm] ln=exp^{-1} [/mm] hab ich den Bruch [mm] \bruch{ln(n)}{n} [/mm] so geschrieben:
[mm] \bruch{1}{exp(n)}*\bruch{1}{n}=\bruch{1}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^{k}}{k!}}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^{k+1}}{k!}}
[/mm]
Nun schätze ich den Term ab. Ziehe mir also den "nullten" (k=0) Summanden heraus
[mm] \bruch{1}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^{k+1}}{k!}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Nun sage ich das dass kleiner sein soll als [mm] \epsilon:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n}<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow n>\bruch{1}{\epsilon}
[/mm]
Ist das alles soweit richtig?
Gruß Hans
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> Mit Hilfe der Exponentialreihe:
> [mm]exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^{k}}{k!}[/mm] und der
> Umkehrfkt. [mm]ln=exp^{-1}[/mm] zeige man: [mm]\bruch{ln(n)}{n} \to[/mm] 0
> [mm](n\to\infty).[/mm] indem zu [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm]
> existiert, sodass [mm]\bruch{ln(n)}{n} <\epsilon[/mm] für alle
> [mm]n>n_{0}.[/mm]
> Hallo!
> So, hier mal mein Lösungsansatz:
> Da [mm]ln=exp^{-1}[/mm] hab ich den Bruch [mm]\bruch{ln(n)}{n}[/mm] so
> geschrieben:
>
> [mm]\bruch{1}{exp(n)}*\bruch{1}{n}=\bruch{1}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^{k}}{k!}}*\bruch{1}{n}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^{k+1}}{k!}}[/mm]
>
> Nun schätze ich den Term ab. Ziehe mir also den "nullten"
> (k=0) Summanden heraus
>
> [mm]\bruch{1}{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{n^{k+1}}{k!}}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Nun sage ich das dass kleiner sein soll als [mm]\epsilon:[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n}<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n>\bruch{1}{\epsilon}[/mm]
>
> Ist das alles soweit richtig?
Nein. Der Fehler liegt bereits im ersten Schritt. Damit sind alle weiteren Umformungen obsolet.
[mm] ln=exp^{-1} [/mm] steht dafür, dass der ln die Umkehrfunktion der e-Funktion ist und nicht für ln [mm] x=\frac{1}{exp(x)}
[/mm]
>
> Gruß Hans
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Hans80 |
> Nein. Der Fehler liegt bereits im ersten Schritt. Damit
> sind alle weiteren Umformungen obsolet.
> [mm]ln=exp^{-1}[/mm] steht dafür, dass der ln die Umkehrfunktion
> der e-Funktion ist und nicht für ln [mm]x=\frac{1}{exp(x)}[/mm]
Hm, ok.
Könntest du mir vielleicht noch weiterhelfen?
Mir bzw. eine Anleitung geben wie die Aufgabe zu lösen ist?
So komme ich ja nicht weiter?
In der Zwischenzeit möchte ich noch eine Idee unterbreiten...
Setze [mm] n=e^{z}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{ln(n)}{n}=\bruch{z}{e^{z}} [/mm] für z [mm] \to \infty [/mm] = 0 ???
Ist das der Richtige Ansatz?
Wie löse ich jetzt aber nach z auf? Ich muss ja noch ein [mm] n_{0} [/mm] sodass das gilt...
Das würde ja jetzt so dastehen:
[mm] \bruch{z}{e^{z}}<\epsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Di 01.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bilde exp(ln(n)/n)=exp(0)
jetzt los die linke Seite auf!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2. Setze k:=ln(n). Dann ist k>0 und
$0 [mm] \le \bruch{ln(n)}{n}=\bruch{k}{e^k}$.
[/mm]
Zeige mit der Exp.-Reihe:
$0 [mm] \le \bruch{ln(n)}{n}=\bruch{k}{e^k} \le \bruch{k}{k^2/2}=2/k=\bruch{2}{ln(n)}$.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Di 01.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred und Leduart!
Dankeschön für eure Hilfe!
>
> [mm]0 \le \bruch{ln(n)}{n}=\bruch{k}{e^k} \le \bruch{k}{k^2/2}=2/k=\bruch{2}{ln(n)}[/mm].
dh.: [mm] \bruch{2}{ln(n)}<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow n>e^{\bruch{2}{\epsilon}}?
[/mm]
Hans
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred und Leduart!
> Dankeschön für eure Hilfe!
>
>
> >
> > [mm]0 \le \bruch{ln(n)}{n}=\bruch{k}{e^k} \le \bruch{k}{k^2/2}=2/k=\bruch{2}{ln(n)}[/mm].
>
> dh.: [mm]\bruch{2}{ln(n)}<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n>e^{\bruch{2}{\epsilon}}?[/mm]
Ja
FRED
>
> Hans
>
> > FRED
>
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