Umkehrabbildung einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 04.11.2009 | | Autor: | cholerix |
| Aufgabe | Berechnen Sie zu folgender Abbildung die Umkehrabbildung.
f: [mm] \IR^3 \to \IR^3, f(x_1,x_2,x_3)=[(x_1-x_2)^3,x_2+x_3,(x_3-x_1)^3] [/mm] |
Hallo,
wie Ihr hier sehen könnt muss ich hier die Umkehrfunktion berechnen. Habe das bis jetzt nur mit Funktionen gemacht die eine Variable hatten und bin gerade ein wenig verwirrt. Muss ich hier die Umkehrfunktion partiell zu jeder einzelnen Variablen bilden (so wie bei einer partiellen Ableitung?)?
Irgendwie so:
[mm] f^{-1}(x_1)=(x_2,0,x_3)
[/mm]
[mm] f^{-1}(x_2)=(x_1,-x_3,0)
[/mm]
[mm] f^{-1}(x_3)=(0,-x_2,x_1)
[/mm]
mfg
Joe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo cholerix,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie zu folgender Abbildung die Umkehrabbildung.
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> f: [mm]\IR^3 \to \IR^3, f(x_1,x_2,x_3)=[(x_1-x_2)^3,x_2+x_3,(x_3-x_1)^3][/mm]
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> Hallo,
>
> wie Ihr hier sehen könnt muss ich hier die Umkehrfunktion
> berechnen. Habe das bis jetzt nur mit Funktionen gemacht
> die eine Variable hatten und bin gerade ein wenig verwirrt.
> Muss ich hier die Umkehrfunktion partiell zu jeder
> einzelnen Variablen bilden (so wie bei einer partiellen
> Ableitung?)?
> Irgendwie so:
>
> [mm]f^{-1}(x_1)=(x_2,0,x_3)[/mm]
> [mm]f^{-1}(x_2)=(x_1,-x_3,0)[/mm]
> [mm]f^{-1}(x_3)=(0,-x_2,x_1)[/mm]
Setze hier
[mm]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}=u[/mm]
[mm]x_{2}+x_{3}=v[/mm]
[mm]\left(x_{3}-x_{1}\right)^{3}=w[/mm]
Löse dieses Gleichungssystem nach [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}[/mm] auf.
>
> mfg
>
> Joe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 04.11.2009 | | Autor: | cholerix |
Erstmal vielen Dank für die rasche Antwort :)
Ist das so formal korrekt geschrieben?
[mm] f^{-1}(x_1)=\wurzel[3]{u}+x_2
[/mm]
[mm] f^{-1}(x_2)=v-x_3
[/mm]
[mm] f^{-1}(x_3)=\wurzel[3]{w}+x_1
[/mm]
Grüsse
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Hallo cholerix,
> Erstmal vielen Dank für die rasche Antwort :)
>
> Ist das so formal korrekt geschrieben?
>
> [mm]f^{-1}(x_1)=\wurzel[3]{u}+x_2[/mm]
> [mm]f^{-1}(x_2)=v-x_3[/mm]
> [mm]f^{-1}(x_3)=\wurzel[3]{w}+x_1[/mm]
Nein.
Das Gleichungssystem
[mm]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}=u[/mm]
[mm]x_{2}+x_{3}=v[/mm]
[mm]\left(x_{3}-x_{1}\right)^{3}=w[/mm]
muß, wie schon erwähnt, nach [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}[/mm] aufgelöst werden.
Und zwar so, daß
[mm]x_{1}=x_{1}\left(u,v,w\right)[/mm]
[mm]x_{2}=x_{2}\left(u,v,w\right)[/mm]
[mm]x_{3}=x_{3}\left(u,v,w\right)[/mm]
>
> Grüsse
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 04.11.2009 | | Autor: | cholerix |
[mm] x_1=x_1(\wurzel[3]{u}+x_2,x_2+x_3,x_3-\wurzel[3]{w})
[/mm]
[mm] x_2=x_2(x_1-\wurzel[3]{u},v-x_3,(x_3-x_1)^3)
[/mm]
[mm] x_3=x_3(x_1-x_2)^3,v-x_2,\wurzel[3]{w}+x_1)
[/mm]
So? Sorry steh grad irgendwie auf dem Schlauch...
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Hallo cholerix,
> [mm]x_1=x_1(\wurzel[3]{u}+x_2,x_2+x_3,x_3-\wurzel[3]{w})[/mm]
> [mm]x_2=x_2(x_1-\wurzel[3]{u},v-x_3,(x_3-x_1)^3)[/mm]
> [mm]x_3=x_3(x_1-x_2)^3,v-x_2,\wurzel[3]{w}+x_1)[/mm]
>
> So? Sorry steh grad irgendwie auf dem Schlauch...
Leider nein.
Löse als erstes die Gleichung
[mm]x_{2}+x_{3}=v[/mm]
z.B. nach [mm] x_{2}[/mm] auf.
Dann ergibt sich
[mm]x_{2}=v-x_{3}[/mm]
Dies entspricht der Darstellung [mm]x_{2}=x_{2}\left(v,x_{3}\right)[/mm]
Damit gehst Du jetzt in die Gleichung
[mm]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{3}=u[/mm]
ersetzt [mm]x_{2}[/mm] wie oben und löst diese nach [mm]x_{1}[/mm] auf.
Hier erhältst Du dann die Darstellung [mm]x_{1}=x_{1}\left(u,v,x_{3}\right)[/mm]
Damit gehst Du nun in die übriggebliebene Gleichung
[mm]\left(x_{3}-x_{1}\right)^{3}=w[/mm]
und ersetzt zunächst [mm]x_{1}[/mm].
Danach löst Du diese Gleichung nach [mm]x_{3}[/mm] auf.
Dann erhältst Du die Darstellung [mm]x_{3}=x_{3}\left(u,v,w\right)[/mm]
Ersetzt Du nun [mm]x_{3}[/mm] in der Darstellung
[mm]x_{2}=x_{2}\left(v,x_{3}\right)[/mm]
[mm]x_{1}=x_{1}\left(u,v,x_{3}\right)[/mm]
so erhältst Du dann
[mm]x_{1}=x_{1}\left(u,v,w\right)[/mm]
[mm]x_{2}=x_{2}\left(u,v,w\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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