Umkehrbarkeit der e - Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Mo 02.03.2009 | | Autor: | dayscott |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
meine Frage ist aus einer pdf kopiert und der Author macht ein Statement, welches ich nicht verstehe. / dessen Begründung ich nicht verstehe.
Wieso ist denn die e- Fkt nicht injektiv? Die sieht doch klar bijektiv aus ( = jedem x ist genau ein y und jedem y GENAU ein x zugeordnet)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> meine Frage ist aus einer pdf kopiert und der Author macht
> ein Statement, welches ich nicht verstehe. / dessen
> Begründung ich nicht verstehe.
>
> Wieso ist denn die e- Fkt nicht injektiv? Die sieht doch
> klar bijektiv aus ( = jedem x ist genau ein y und jedem y
> GENAU ein x zugeordnet)
die reelle [mm] $e\,$-Funktion, [/mm] also die Funktion [mm] $\IR \to \IR_{>0},\; [/mm] x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] ist injektiv, sogar bijektiv. Die Funktion [mm] $\IC \to \IC,\;z \mapsto e^z$, [/mm] also die komplexe [mm] $e\,$-Funktion [/mm] ist nicht injektiv.
Warum? Wenn Du weißt, was die Funktion [mm] $\IR \to \IC\,,\; [/mm] x [mm] \mapsto e^{ix}$ [/mm] leistet bzw. dass diese eine [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktion ist, sollte Dir klar sein, warum die Funktion [mm] $\IC \to \IC,\;z \mapsto e^z$, [/mm] also die komplexe [mm] $e\,$-Funktion, [/mm] nicht injektiv sein kann.
Denn:
Nimm' einfach mal irgendeinen Punkt $w [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|w|=1$ her und betrachte die zugehörige Urbildmenge, diese ist (mindestens) abzählbar unendlich.
Noch konkreter kannst Du auch einfach mal [mm] $w=1\,$ [/mm] betrachten. Dann ist die Menge aller $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $e^z=1$ [/mm] gerade die Menge [mm] $2\,\pi\,i*\IZ=\{2\,\pi\,i*z:\;z \in \IZ\}\,.$ [/mm]
(Es würde hier auch schon reichen, zu wissen, dass mit [mm] $f(z)=e^z$ [/mm] ($z [mm] \in \IC$) [/mm] dann [mm] $\{2\,\pi\,i,\;0\} \subset f^{-1}(\{1\})$ [/mm] gilt.)
(Es gibt also hier mindestens ein $w [mm] \in \IC$, [/mm] so dass [mm] $z_1 \not= z_2$ [/mm] existieren mit [mm] $f(z_1)=w=f(z_2)\,;$ [/mm] z.B. würden es [mm] $w\,=1$, $z_1=0$ [/mm] und [mm] $z_2=2\,\pi\,i$ [/mm] tun. Ergo ist [mm] $f(z)\,=e^z$ [/mm] (als Abbildung [mm] $\IC \to \IC$) [/mm] nicht injektiv.)
Edit:
Dass oben steht, dass die Funktion [mm] $\IC \to \IC,\;z \mapsto \exp(z)$ [/mm] periodisch sei, ist natürlich grober Unfug. Die Funktion [mm] $\IR \to \IR,\; [/mm] x [mm] \mapsto \exp(x)$ [/mm] ist ja auch nicht periodisch...
Der Autor meinte aber sicher die Begründung meinerseits oben (also die Periodizität der Funktion $x [mm] \mapsto \exp(ix)$), [/mm] hat sich allerdings diesbezüglich nicht besonders gut bzw. missverständlich ausgedrückt...
Korrektur: Der Author hatte Recht und ich habe Unfug geschrieben, siehe Freds korrigierende Mitteilung!
P.S.:
Surjektiv ist [mm] $f(z)=e^z$ [/mm] (wieder als Abbildung [mm] $\IC \to \IC$) [/mm] übrigens auch nicht, weil es eben ein $w [mm] \in \IC$ [/mm] gibt, so dass $f(z) [mm] \not=w$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC\,,$ [/mm] nämlich gerade [mm] $w\,=0\,.$ [/mm] Das steht aber auch genauso oben in der von Dir verlinkten pdf-Datei.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 Di 03.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > meine Frage ist aus einer pdf kopiert und der Author
> macht
> > ein Statement, welches ich nicht verstehe. / dessen
> > Begründung ich nicht verstehe.
> >
> > Wieso ist denn die e- Fkt nicht injektiv? Die sieht doch
> > klar bijektiv aus ( = jedem x ist genau ein y und jedem y
> > GENAU ein x zugeordnet)
>
> die reelle [mm]e\,[/mm]-Funktion, also die Funktion [mm]\IR \to \IR_{>0},\; x \mapsto e^x[/mm]
> ist injektiv, sogar bijektiv. Die Funktion [mm]\IC \to \IC,\;z \mapsto e^z[/mm],
> also die komplexe [mm]e\,[/mm]-Funktion ist nicht injektiv.
>
> Warum? Wenn Du weißt, was die Funktion [mm]\IR \to \IC\,,\; x \mapsto e^{ix}[/mm]
> leistet bzw. dass diese eine [mm]2\pi[/mm]-periodische Funktion ist,
> sollte Dir klar sein, warum die Funktion [mm]\IC \to \IC,\;z \mapsto e^z[/mm],
> also die komplexe [mm]e\,[/mm]-Funktion, nicht injektiv sein kann.
>
> Denn:
> Nimm' einfach mal irgendeinen Punkt [mm]w \in \IC[/mm] mit [mm]|w|=1[/mm]
> her und betrachte die zugehörige Urbildmenge, diese ist
> (mindestens) abzählbar unendlich.
> Noch konkreter kannst Du auch einfach mal [mm]w=1\,[/mm]
> betrachten. Dann ist die Menge aller [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]e^z=1[/mm]
> gerade die Menge [mm]2\,\pi\,i*\IZ=\{2\,\pi\,i*z:\;z \in \IZ\}\,.[/mm]
> (Es würde hier auch schon reichen, zu wissen, dass mit
> [mm]f(z)=e^z[/mm] ([mm]z \in \IC[/mm]) dann [mm]\{2\,\pi\,i,\;0\} \subset f^{-1}(\{1\})[/mm]
> gilt.)
>
> (Es gibt also hier mindestens ein [mm]w \in \IC[/mm], so dass [mm]z_1 \not= z_2[/mm]
> existieren mit [mm]f(z_1)=w=f(z_2)\,;[/mm] z.B. würden es [mm]w\,=1[/mm],
> [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_2=2\,\pi\,i[/mm] tun. Ergo ist [mm]f(z)\,=e^z[/mm] (als
> Abbildung [mm]\IC \to \IC[/mm]) nicht injektiv.)
>
> Dass oben steht, dass die Funktion [mm]\IC \to \IC,\;z \mapsto \exp(z)[/mm]
> periodisch sei, ist natürlich grober Unfug.
Wie bitte ??? Selbstverständlich ist [mm]\IC \to \IC,\;z \mapsto \exp(z)[/mm] periodisch !!
[mm] e^{z+2k \pi i} [/mm] = [mm] e^z [/mm] für jedes z [mm] \in \IC [/mm] und jedes k [mm] \in \IZ
[/mm]
FRED
> Die Funktion
> [mm]\IR \to \IR,\; x \mapsto \exp(x)[/mm] ist ja auch nicht
> periodisch...
> Der Autor meinte aber sicher die Begründung meinerseits
> oben (also die Periodizität der Funktion [mm]x \mapsto \exp(ix)[/mm]),
> hat sich allerdings diesbezüglich nicht besonders gut bzw.
> missverständlich ausgedrückt...
>
> P.S.:
> Surjektiv ist [mm]f(z)=e^z[/mm] (wieder als Abbildung [mm]\IC \to \IC[/mm])
> übrigens auch nicht, weil es eben ein [mm]w \in \IC[/mm] gibt, so
> dass [mm]f(z) \not=w[/mm] für alle [mm]z \in \IC\,,[/mm] nämlich gerade
> [mm]w\,=0\,.[/mm] Das steht aber auch genauso oben in der von Dir
> verlinkten pdf-Datei.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Di 03.03.2009 | | Autor: | dayscott |
| Aufgabe | | wieder das .jpg - Zeile 4 vom rot Markierten aus gesehen |
Erstmal vielen Dank, euere Antworten haben mir schon sehr weitergeholfen.
Eine weitere Frage hätte ich aber noch bzgl. der 4 Zeile (vom rot Markierten aus gesehen)
Verstehe ich richtig, dass dieses C*, alle invertierbaren Elemente im Körper ohne die 0 sind, und DESWEGEN diese Abbildung dann surjektiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Di 03.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Abbildung f: [mm] \IC [/mm] ---> [mm] \IC [/mm] \ {0}, f(z) = [mm] e^z, [/mm] ist surjektiv, denn zu jedem w [mm] \in \IC [/mm] gibt es ein z [mm] \in \IC [/mm] mit f(z) = w.
FRED
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