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| Aufgabe | | Es sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch f(x) := [mm] x^{5} [/mm] + 2x gegeben. Zeigen Sie: f besitzt eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte, differenzierbare Umkehrfunktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] . Berechnen Sie zudem g'(3). |
So, hallo wieder einmal !
Kann mir vielleicht wer helfen bei dieser Aufgabe ? Ich schaffs einfach nicht, hier die Umkehrfunktion zu bilden.
Prinzipiell is es mir schon klar, wie das geht:
1. bei der Funktion x und y vertauschen.
2. nach y auflösen, so dass wieder dran steht: y = ...
Irgendwie hab ich hier mal wieder ein Brett vorm Kopf, bitte um Hilfe !
Vielen lieben Dank !
J.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 13.07.2006 | | Autor: | Walde |
hi Julchen,
hattet ihr schon den ![[]](/images/popup.gif) Satz über implizite Funktionen ? Eine Folgerung daraus ist der Satz über inverse Funktion (im selben Link). Damit sollte es eigentlich gehen.
Du hast [mm] y=x^5+2x [/mm] bzw. [mm] F(x,y)=x^5+2x-y=0. [/mm] Der Satz besagt, dass du (in einer Umgebung von [mm] x_0) [/mm] nach x aulösen kannst, wenn die partielle Ableitung nach x von f(x) (in [mm] x_0) [/mm] invertierbar ist.
Angewendet auf dein Beispiel ist das einfach [mm] f'(x)=5x^4+2. [/mm] Das ist invertierbar (also [mm] \not=0), [/mm] für alle x.
Du müsstest (damit du den Satz anwenden darfst) vorher noch zeigen, dass F(x,y) stetig diffbar ist, aber da beide part. Ableitungen existieren und stetig sind ist das gegeben.
Der Satz zeigt dir übrigens auch, wie dann die Ableitung der Umkehrfkt. gebildet wird, ohne diese explizit zu kennen.
[mm] \bruch{dx}{dy}=-\bruch{\bruch{\partial F}{\partial y}}{\bruch{\partial F}{\partial x}}
[/mm]
Dies entspricht in deinem einfachen Fall (,weil f von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] geht) im übrigen der Formel über die Ableitung der Umkehrfunktion [mm] \bruch{dx}{dy}=\bruch{1}{\bruch{dy}{dx}}, [/mm] die du vielleicht noch aus der Schule kennst.
Alles klar? 
l G walde
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Ich finde, Walde übertreibt ein bißchen. Das geht alles auch viel elementarer. Da gibt es einen Satz: Eine auf einem Intervall streng monotone stetige Funktion ist umkehrbar. Und wie weist man hier ganz leicht die strenge Monotonie von [mm]f[/mm] nach?
Und die Ableitung der Umkehrfunktion bekommst du - das hat Walde in Leibnizscher Notation ausgedrückt - über
[mm]g'(y) = \frac{1}{f'(x)}[/mm], wobei [mm]y = f(x)[/mm] gilt
Wenn du also konkret [mm]g'(3)[/mm] berechnen willst, so mußt du zu [mm]y = 3[/mm] das [mm]x[/mm] mit [mm]3 = f(x)[/mm] finden und kannst dann die Formel darauf loslassen. Und das [mm]x[/mm] findest du mit ganz wenig Probieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Do 13.07.2006 | | Autor: | Walde |
Hehe, hab wohl mit Kanonen auf Spatzen geschossen 
Einfacher ist besser, ich stimme dir zu.
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Do 13.07.2006 | | Autor: | Julchen01 |
Dankeschön für eure Mühen, hat mir sehr geholfen !
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