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| Aufgabe | Differentialgleichung:
y'' = (y+1)y' |
Diese Diffgleichung soll durch Übergang zur Umkehrfunktion gelöst werden. Mir ist nur nicht klar, wie ich zur Umkehrfunktion komme.
Ich würde beginnen mit
y' = [mm] \bruch{1}{x'}
[/mm]
Nur was mache ich mit y'' oder dem y in der Klammer?
Als Ergebnis sollte folgendes herauskommen:
x'' = [mm] -(x')^{3}(y+1)\bruch{1}{x'}
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe...
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Nehmen wir an, daß die gesuchte Funktion [mm]f[/mm] mit
[mm]f''(x) = \left( f(x) + 1 \right) \cdot f'(x)[/mm]
in einem Intervall umkehrbar ist und ihre Ableitung nirgendwo verschwindet. Es sei [mm]g[/mm] die Umkehrfunktion von [mm]f[/mm]. Bekanntermaßen gilt (Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion):
[mm]g'(y) \cdot f' \left( g(y) \right) = 1[/mm]
Diese Beziehung wird differenziert (Produktregel, Kettenregel):
[mm]g''(y) \cdot f' \left( g(y) \right) + \left( g'(y) \right)^2 \cdot f'' \left( g(y) \right) = 0[/mm]
Nun wird die Differentialbeziehung für [mm]f''[/mm] von ganz oben verwendet:
[mm]g''(y) \cdot f' \left( g(y) \right) + \left( g'(y) \right)^2 \cdot \left( f \left( g(y) \right) + 1 \right) \cdot f' \left( g(y) \right) = 0[/mm]
Nach Division durch [mm]f' \left( g(y) \right)[/mm] und wegen [mm]f \left( g(y) \right) = y[/mm] (Umkehrfunktioneigenschaft) folgt:
[mm]g''(y) + \left( g'(y) \right)^2 \cdot (y + 1) = 0[/mm]
Mit anderen Worten: Wenn [mm]f[/mm] der Differentialgleichung [mm]y'' = (y + 1) \, y'[/mm] genügt, so genügt die Umkehrfunktion [mm]g[/mm] der Differentialgleichung [mm]\ddot{x} = - (y + 1) \cdot \dot{x}^{\, 2}[/mm], wobei ich hier die Ableitung nach [mm]y[/mm] durch einen Punkt bezeichnet habe.
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perfekt und gecheckt. danke
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