Umkehrfunktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Di 06.02.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Begründen Sie, dass f im Intervall ]0;1] umkehrbar ist. Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen Umkehrfunktoin g an. |
Hallo.
Die Bedingung dafür, dass eine Funktion umkehrbar ist, ist, dass sie (streng) monoton sein muss.
Diese Funktion ist im Intervall ]0;1] streng monoton fallen, soweit kein Problem.
Jetzt soll ich ja den Definitionsbereich und die Wertemenge angeben.
Dabei gilt: Der Definitionsbereich der Funktion wird zur Wertemenge ihrer Umkehrfunktion.
Die Wertemenge der Funktion wird zur Definitionsmenge der Umkehrfunktion.
Ich weiß, dass die Funktion dann ja für I= ]0;1] definiert ist, und dass die Wertemenge dann [mm] [0;+\infty[ [/mm] ist.
Also kann ich doch sagen, dass die Wertemenge der Umkehrfunktion W=]0;1] ist.
Da der Punkt P(1;0) der Funktion f gehört ja noch mit zum Definitionsbereich der Funktion selbst.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist dann ja auch einfach [mm] D=[0;+\infty[ [/mm] .
Nun habe ich aber in einer Lösung der Aufgabe gefunden, dass dort als Wertemenge der Umkehfunktion [0;1[ angegeben ist.
Nun frage ich mich: Wie kann das sein?
Wenn die Null doch zur Wertemenge der Umkehrfunktion gehört, dann müsste doch die Funktion selbst die y-Achse berühren, was sie aber nicht tut.
Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich mit meiner Behauptung, dass ich im Recht bin, richtig liege?
Slaín,
Kroni
|
|
| |
|
Hallo Kroni,
bitte gib den Funktionsterm hier noch einmal an - ich habe mich fast zu tode gesucht... 
[mm] f(x)=(x-1)*\ln(x)
[/mm]
> Begründen Sie, dass f im Intervall ]0;1] umkehrbar ist.
> Geben Sie Definitions- und Wertemenge der zugehörigen
> Umkehrfunktoin g an.
> Hallo.
>
> Die Bedingung dafür, dass eine Funktion umkehrbar ist, ist,
> dass sie (streng) monoton sein muss.
> Diese Funktion ist im Intervall ]0;1] streng monoton
> fallen, soweit kein Problem.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Jetzt soll ich ja den Definitionsbereich und die Wertemenge
> angeben.
> Dabei gilt: Der Definitionsbereich der Funktion wird zur
> Wertemenge ihrer Umkehrfunktion.
> Die Wertemenge der Funktion wird zur Definitionsmenge der
> Umkehrfunktion.
>
> Ich weiß, dass die Funktion dann ja für I= ]0;1] definiert
> ist, und dass die Wertemenge dann [mm][0;+\infty[[/mm] ist.
> Also kann ich doch sagen, dass die Wertemenge der
> Umkehrfunktion W=]0;1] ist.
nein, weil (1;0) ein Punkt von f ist, gehört (0;1) zum Graphen der Umkehrfunktion.
> Da der Punkt P(1;0) der Funktion f gehört ja noch mit zum
> Definitionsbereich der Funktion selbst.
> Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist dann ja auch
> einfach [mm]D=[0;+\infty[[/mm] .
>
> Nun habe ich aber in einer Lösung der Aufgabe gefunden,
> dass dort als Wertemenge der Umkehfunktion [0;1[ angegeben
> ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun frage ich mich: Wie kann das sein?
> Wenn die Null doch zur Wertemenge der Umkehrfunktion
> gehört, dann müsste doch die Funktion selbst die y-Achse
> berühren, was sie aber nicht tut.
doch! siehe oben!
>
> Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich mit meiner Behauptung,
> dass ich im Recht bin, richtig liege?
leider nein.
>
> Slaín,
>
> Kroni
>
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 06.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hmmm.....
Mal noch anders Formulieren:
Der Punkt P(1;0) der Funktion f mit f(x)=(x-1)*ln(X) gehört ja noch mit zum Intervall...
D.h. die Wertemenge der Funktion beinhaltet die 0.
Soweit so gut...Das heißt doch aber, dass dann die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ebenfalls von 0 an geht, wie ich bereits sagte.
Ebenfalls gehört die Null NICHT zur Definitionsmenge der Funktion f.
D.h. doch auch, dass die Wertemenge der Umkehrfunktion die Null nicht beinhalten kann.....?!?
Deine Antwort war:
nein, weil (1;0) ein Punkt von f ist, gehört (0;1) zum Graphen der Umkehrfunktion.
Richtig, (0;1) gehört zum Graphen der Umkehrfunktion, d.h. die Wertemenge der Umkehrfunktion muss die "1" mit beinhalten. Das ist aber in der Lösung mit
W=[0;1[ die 1 ausgeschlossen.
Denke ich gerade viel zu verquer...oder hmm...
Wäre um eine neue Antwort dankbar.
Slaín,
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Di 06.02.2007 | | Autor: | Braunstein |
Wie ich seh, ist Informix schon weg. Gib mir ein paar Min., dann werd ich dir "hoffentlich" weiter helfen können ;)
Gruß einstweilen,
hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 06.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Danke, ich habe Zeit*g*
=)
|
|
|
| |
|
Also, folgendes hab ich mir mal überlegt: Umkehrregel, das ist eine Regel der Differentialgleichung und lautet
[mm] f(x)'=\bruch{1}{(f^{-1}(x))'*f(x)}
[/mm]
ich hab dann folgendes rausbekommen:
[mm] f^{-1}(x)'=\bruch{1}{ln(x)((x-1)lnx+\bruch{(x-1)^{2}}{x})}
[/mm]
Okay, wenn ich diese differenzierte Umkehrfunktion berechnen würde (bezogen auf das gegebene Intervall), dann bekäme ich eine erste Ableitung dieser Umkehrfunktion, die immer ungleich 0 ist. Dies tu ich aber nicht, weil's zu viel Aufwand ist :) Aber mein Grapher hat's mir eben gesagt. Egal.
Dies ist eine Bedingung der Umkehrregel. Meines Wissens ist, wenn Bedingung erfüllt, diese Funktion (x-1)*ln(x) daher auf dem Intervall umkehrbar. Mal eine gute Voraussetzung. Jetzt brauchst du nur mehr noch versuchen, die Ableitung der Umkehrfunktion wegzubekommen, und du hast die eigentliche Umkehrfunktion. Intervallpunkte einsetzen (stichprobenweise) und auf Ergebnisse hoffen.
Mit mehr kann ich momentan nicht dienen, für mich ist's schon zu spät. Muss ins Bett. Ich hoff, dass ich dir ein paar Tipps geben konnte. Und ich hoff auch, dass ich keinen Schmarn verzählt hab ... :)
Boah, wenn das nicht hilft, beiß ich mir in den H******. Den so viel Kopfzerbrechen hat's seit der letzten Mathe-Klausur nicht mehr gegeben!
Gruß, Hannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Di 06.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Danke für deine Mühen, aber ich glaube, du wirst dir in den A**** beißen dürfen;)
Es ging mir nur Darum, die Wertemenge festzulegen.
Da ich der Meinung bin, dass die Wertemenge der Umkehrfunktion
W=]0;1] ist und nicht, wie die Lösung sagt W=[0;1[
Slaín,
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Di 06.02.2007 | | Autor: | Braunstein |
Hmmm, naja, wenn du dir die Umkehrfunktion ziehst, kannst dir das ja eh berechnen ... Gut, ein bissal viel Aufwand! :) Aber ich mein's nur gut (und weiß es nicht besser).
Gruß + gute N8
|
|
|
| |
|
> Es ging mir nur Darum, die Wertemenge festzulegen.
> Da ich der Meinung bin, dass die Wertemenge der
> Umkehrfunktion
> W=]0;1] ist und nicht, wie die Lösung sagt W=[0;1[
Hallo,
ich teile Deine Meinung:
Läge 0 im Wertebereich, so gäbe es ein y [mm] \in [/mm] Definitionsbereich mit
[mm] f^{-1}(y)=0.
[/mm]
Da aber f an der Stelle 0 nicht definiert ist, f(0) also nicht existiert, kann das nicht sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Okay, weil alles andere kann ich mir auch nicht erklären, wie das dann zustande kommen sollte....
@informix:
Du sagtest ja auch, dass der Punkt P(0;1) zur Umkehrfunktion gehört, gibst aber der Lösung recht, die in der Wertemenge den Wert y=1 ausschließt....
Zudem würde alles andere ja dann dem Satz widersprechen, dass die Definitionsmenge der Funkiton zur Wertemenge der Umkehrfunktion wird und umgekehrt.
Slaín,
Kroni
|
|
|
| |
|
Hallo Kroni,
> Okay, weil alles andere kann ich mir auch nicht erklären,
> wie das dann zustande kommen sollte....
> @informix:
> Du sagtest ja auch, dass der Punkt P(0;1) zur
> Umkehrfunktion gehört, gibst aber der Lösung recht, die in
> der Wertemenge den Wert y=1 ausschließt....
>
> Zudem würde alles andere ja dann dem Satz widersprechen,
> dass die Definitionsmenge der Funkiton zur Wertemenge der
> Umkehrfunktion wird und umgekehrt.
>
Ich versuche, die Konfusion zu beenden:
[mm] f(x)=(x-1)*\ln(x) [/mm] betrachten wir:
[Dateianhang nicht öffentlich]
vergiss den roten Strich für x>1.
Die Umkehrfunktion nenne ich einfachheitshalber g.
Jetzt spiegeln wir in Gedanken den Graphen an der y=x Geraden (der 1. Winkelhalbierenden) und erkennen, dass der Punkt (0;1) von f auf den Punkt (1;0) gespiegelt wird. (Ich habe leider kein Programm gefunden, das mir dies auf Knopfdruck leistet.)
Die Punkte, die sich an der y-Achse hinauf drängeln, werden an die x-Achse gespiegelt und nähern sich ihr für [mm] x\to\infty [/mm] beliebig; es gibt aber keine Nullstelle dabei.
Damit halten wir fest:
[mm] D_f=]0;1] [/mm] und [mm] W_f=[0;\infty[
[/mm]
[mm] D_g=[0;\infty[ [/mm] und [mm] W_g=]0;1]
[/mm]
Ich glaube, wir haben uns vorher ständig unklar ausgedrückt, weil nie so ganz klar war, welche Funktion jeweils im Spiel war.
War's das? Jetzt klar(er)?
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Danke...
Ich habe mal meine Antwort von oben kopiert:
Also kann ich doch sagen, dass die Wertemenge der
>Umkehrfunktion W=]0;1] ist.
Also sind wir uns nun einig, und somit ist die Lösung, die diese Wertemenge der Umkehrfunktion mit W=[0;1[ definiert, falsch.
Alles klar, nun stimme ich auch mit dir überein informix*g* und Danke für eure Mühen=)
Slaín,
Kroni
|
|
|
|
