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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Conney |
Hi!
Ich brauche dringend Hilfe, denn ich schreibe schon morgen mein Abi! Diese Aufgabe habe ich zum Üben bekommen und kann die Lösung nicht so ganz nachvollziehen...
Gegeben: f(x)= [mm] xe^{-x}+e^{-x}
[/mm]
h(x) ist die Umkehrfunktion von f(x)
Begründen sie, ohne Bestimmung von h(x), an welcher Stelle die Ableitung von h(x) ein lokales Extremum aufweist. Bestimmen Sie den Wert der Ableitung von h(x) an dieser Stelle.
Lösung:
f'(x) besitzt ein lokales Extremum für x=1 (Wendepunkt), also besitzt h'(x) ein lokales Extremum für [mm] x=\bruch{2}{e}
[/mm]
[mm] h'(\bruch{2}{e})=\bruch{1}{f'(1)}=\bruch{1}{-e^{-1}}=-e
[/mm]
So das war die Lösung...
Ich weiß, woher der Wendepunkt x=1 kommt. [mm] W(1/\bruch{2}{e})
[/mm]
Die Koordinaten drehen sich wegen der Umkehrfunktion um. [mm] E(\bruch{2}{e}/1)
[/mm]
Meine Frage ist hauptsächlich, warum haben die Ableitungen von f(x) und h(x) den selben Extremwert (nur umgekehrt versteht sich)?
Haben Funktion und Umkehrfunktion generell "ähnliche" Extrema?
Gibt es da eine generelle Regel oder Formel?
Danke für eure Hilfe im voraus! ;)
Conney
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Hi, Conney,
> Gegeben: f(x)= [mm]xe^{-x}+e^{-x}
[/mm]
> h(x) ist die Umkehrfunktion von f(x)
Ohne Angabe der Definitionsmenge D hört die Aufgabe hier bereits auf! Ist nämlich D=R, so ist f nicht umkehrbar und die Funktion h existiert erst gar nicht!
>
> Begründen sie, ohne Bestimmung von h(x), an welcher Stelle
> die Ableitung von h(x) ein lokales Extremum aufweist.
> Bestimmen Sie den Wert der Ableitung von h(x) an dieser
> Stelle.
>
> Lösung:
> f'(x) besitzt ein lokales Extremum für x=1 (Wendepunkt),
> also besitzt h'(x) ein lokales Extremum für
> [mm]x=\bruch{2}{e}
[/mm]
Das Extremum von f', also der Wendepunkt von f, liegt bei (1; f(1)) = (1; [mm] \bruch{2}{e}). [/mm]
Aus diesem Punkt wird bei der Umkehrfunktion der Punkt ( [mm] \bruch{2}{e}; [/mm] 1). Der bleibt natürlich Wendepunkt und folglich Extrempunkt der Umkehrfunktion h'.
Die Steigung an dieser Stelle ergibt sich mit Hilfe der Umkehrregel; sie ist laut dieser einfach der Kehrwert der Ableitung von f an der Stelle x=1.
Drum:
> [mm]h'(\bruch{2}{e})=\bruch{1}{f'(1)}=\bruch{1}{-e^{-1}}=-e
[/mm]
>
> So das war die Lösung...
>
> Ich weiß, woher der Wendepunkt x=1 kommt.
> [mm]W(1/\bruch{2}{e})
[/mm]
> Die Koordinaten drehen sich wegen der Umkehrfunktion um.
> [mm]E(\bruch{2}{e}/1)
[/mm]
> Meine Frage ist hauptsächlich, warum haben die Ableitungen
> von f(x) und h(x) den selben Extremwert (nur umgekehrt
> versteht sich)?
> Haben Funktion und Umkehrfunktion generell "ähnliche"
> Extrema?
Funktion und Umkehrfunktion eben gerade NICHT! Denn: Das Typische an einem Extrempunkt ist die waagrechte Tangente; die würde ja bei der Umkehrfunktion zu einer senkrechten (!) Tangente.
Wendepunkte hingegen bleiben beim Umkehren Wendepunkte. Und da Wendepunkte definitionsgemäß Extrema der 1.Ableitung sind, ...
(Ausnahme, aber das kommt ja wohl nicht vor: Terrassenpunkte von f)
Alles klar?
Und nochmal: Gilt alles nur, wenn D nicht R war!
Ich vermute mal: D=]-1; [mm] +\infty[, [/mm] stimmt's?
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