Umkehrfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f(x,y)= [mm] \left\{\begin{matrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{matrix}\right.
[/mm]
wobei f: [mm] R^2\{(0,0)}\ [/mm] --> \ [mm] R^2\{(0,0)}
[/mm]
Gibt es ein Punkt (w,z) [mm] \in\ R^2\{(0,0)} [/mm] mit # f^-1({w,z}) [mm] \ne [/mm] 4 ? |
Mein Vorschlag ist es [mm] x^4-6x^2y^2+y^4=w [/mm] und [mm] 4x^3y-4xy^3=z [/mm] zu setzen um das ganze dann nach x und y aufzulösen. Hier komme ich aber nicht weiter. Wie löse ich diese Gleichungssysteme? Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
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> Sei f(x,y)= [mm]\left\{\begin{matrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{matrix}\right.[/mm]
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> wobei f: [mm]R^2\{(0,0)}\[/mm] --> \ [mm]R^2\{(0,0)}[/mm]
>
> Gibt es ein Punkt (w,z) [mm]\in\ R^2\{(0,0)}[/mm] mit # f^-1({w,z})
> [mm]\ne[/mm] 4 ?
> Mein Vorschlag ist es [mm]x^4-6x^2y^2+y^4=w[/mm] und [mm]4x^3y-4xy^3=z[/mm]
> zu setzen um das ganze dann nach x und y aufzulösen. Hier
> komme ich aber nicht weiter. Wie löse ich diese
> Gleichungssysteme? Oder gibt es noch eine andere
> Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
Das ist alles schwer zu verstehen für mich, weil ich nicht sicher bin, was du mit deiner speziellen Symbolik meinst.
Es hat bestimmt irgendwas mit Teilbarkeit durch 4 zu tun und vielleicht helfen dir folgende Überlegungen weiter:
In der zweiten Koordinate ist der Bildwert immer durch 4 teilbar (klar, einfach 4 ausklammern).
In der ersten Koordinate kann man mit binomischer Formel umformen:
[mm] $x^4 [/mm] - [mm] 6x^2y^2 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2)^2 -4x^2y^2$
[/mm]
Hier kann man jetzt Fälle finden, wo das durch 4 teilbar ist (Klammer gibt eine gerade Zahl) und auch nicht (Klammer ist ungerade).
Falls das nicht in die richtige Richtung geht, stell die Frage doch bitte mit üblicher und damit verständlicher Symbolik und klarer Fragestellung ein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Di 18.06.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
Soll [mm] f^{-1} [/mm] die Umkehrfunktion sein? Was soll das Symbol # bedeuten?
Allgemein ist die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] eine Funktion von [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] , daher erhält man einen Punkt im [mm] \IR^2 [/mm] und nicht nur eine Zahl. Daher macht die Aussage [mm] \not=4 [/mm] derzeit noch keinen Sinn.
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> Soll [mm]f^{-1}[/mm] die Umkehrfunktion sein? Was soll das Symbol #
> bedeuten?
Ja genau.
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> Allgemein ist die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] eine Funktion von
> [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm] , daher erhält man einen Punkt im [mm]\IR^2[/mm] und
> nicht nur eine Zahl. Daher macht die Aussage [mm]\not=4[/mm] derzeit
> noch keinen Sinn.
Verstehe ich, allerdings ist die Raute da so in der Aufgabenstellung gegeben. Kann es sein, dass sie für Anzahl steht?
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > Soll [mm]f^{-1}[/mm] die Umkehrfunktion sein? Was soll das Symbol #
> > bedeuten?
>
> Ja genau.
> >
> > Allgemein ist die Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm] eine Funktion von
> > [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm] , daher erhält man einen Punkt im [mm]\IR^2[/mm] und
> > nicht nur eine Zahl. Daher macht die Aussage [mm]\not=4[/mm] derzeit
> > noch keinen Sinn.
>
> Verstehe ich, allerdings ist die Raute da so in der
> Aufgabenstellung gegeben. Kann es sein, dass sie für
> Anzahl steht?
ja: Ist [mm] $M\,$ [/mm] eine endliche Menge, so schreibt man für die Anzahl der Elemente
von [mm] $M\,$ [/mm] meist [mm] $|M|\,,$ [/mm] aber gerade in der Informatik ist auch [mm] #$M\,$ [/mm] dafür
üblich!
Gruß,
Marcel
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Danke =)
Das heißt es gibt evtl mehrere Umkehrfunktionen und ich muss Feststellen ob die Anzahl der Umkehrfunktionen für einen Punkt (w,z) nicht vier ist.
Wie mache ich das? D.h. eventuell muss ich dir Umkehrfunktion gar nicht konkret ausrechnen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Danke =)
> Das heißt es gibt evtl mehrere Umkehrfunktionen
nein. Ist $g \colon X \to Y\,,$ so heißt für $T \subseteq Y$ dann
$$g^{-1}(Y)=\{x \in X:\;\;g(x) \in T\}$$
das Urbild von $Y\,$ unter $g\,.$ Das kannst Du für jede Abbildung hinschreiben.
Die Umkehrfunktion existiert nur im Falle der Bijektivität und ist dann eindeutig
(manche Autoren definieren auch die Umkehrfunktion für "nur" injektives $g\,$).
> und ich
> muss Feststellen ob die Anzahl der Umkehrfunktionen für
> einen Punkt (w,z) nicht vier ist.
??
> Wie mache ich das? D.h. eventuell muss ich dir
> Umkehrfunktion gar nicht konkret ausrechnen, oder?
Die Frage:
> Gibt es ein Punkt (w,z) $ \in\ R^2\{(0,0)} $ mit # f^-1({w,z}) $ \ne $ 4 ?
macht überhaupt keinen Sinn.
Ich sehe auch gerade nicht, wie man sie so umformulieren könnte, dass sie
sinnvoll erscheint. Maximal:
Gibt es ein $r \in \IR$ mit #$f^{-1}(\{r\})\ne 4$?
Oder soll da:
$$f(x,y)=\begin{pmatrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{pmatrix}\right.$$
stehen? (Am einfachsten schreibst Du sowas hier mit $\vektor{x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3}$!)
In letzterem Falle würde die Frage dann doch Sinn machen... allerdings
schreibst Du [mm] $f\,$ [/mm] so, als wenn es eine Funktion [mm] $\IR^2 \supseteq [/mm] D [mm] \to [/mm] Z [mm] \subseteq \IR$
[/mm]
wäre, wo man sich fragt, wo denn die Fallunterscheidung auftaucht...
Daher meine anfängliche Verwirrung!
Gruß,
Marcel
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Ja du hast Recht, hab die Aufgabenstellung falsch aufgeschrieben :S
Also wenn [mm] f^{-1} [/mm] das Urbild sein soll, dann verstehe ich jetzt auch wie die Aufgabenstellung gemeint ist. Da man je zwei Möglichkeiten hat x zu wählen (einmal positiv und einmal negativ) und zwei Möglichkeiten hat y zu wählen (eben auch wieder positiv )ist die Anzahl der Urbilder dementsprechend 4. Wobei jetzt nach einem bestimmten (w,z) gesucht ist, für das die Anzahl der Urbilder ungleich 4 ist, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
nein, nicht richtig.
Weil nämlich f(-x,y) [mm] \not= [/mm] f(x,y) ist.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Soll [mm]f^{-1}[/mm] die Umkehrfunktion sein?
nein, sondern das URBILD!
> Was soll das Symbol # bedeuten?
[mm] #$f^{-1}(\{r\})$ [/mm] ist die Anzahl der Elemente des Urbilds [mm] $f^{-1}(\{r\}):=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;f(x,y)=r\}$
[/mm]
Sinnlos ist es hier allerdings, sowas wie $f^{-1}(\{(w,z)\})$ zu schreiben, wo doch
$f\colon \IR^2 \setminus \{(0,0)\} \to \blue{\mathbf{\IR}}$ ist!!
(Edit: Man lese meine Antworten bzw. meine andere Mitteilung!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
anstatt
f(x,y)= $ \left\{\begin{matrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{matrix}\right. $
(was ich als Funktion $\IR^2 \setminus \{(0,0)\} \to \IR$ gelesen hatte; wobei ich
mich fragte, wo eigentlich die Fallunterscheidung steht) ist wohl:
$f(x,y)=\begin{pmatrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{pmatrix}\right.$
gemeint?
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> anstatt
>
> f(x,y)= [mm]\left\{\begin{matrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{matrix}\right.[/mm]
>
> (was ich als Funktion [mm] \IR^2 \setminus \{(0,0)\} \to \IR[/mm]
> gelesen hatte; wobei ich
> mich fragte, wo eigentlich die Fallunterscheidung steht)
> ist wohl:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{pmatrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{pmatrix}\right.[/mm]
>
> gemeint?
genau, und auch von [mm] \IR^2 \setminus \{(0,0)\} \to \IR^2 \setminus \{(0,0)\}[/mm]
Sorry.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Elizabeth,
wir klären das jetzt alles mal:
> Sei f(x,y)= [mm]\left\{\begin{matrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{matrix}\right.[/mm]
Du meinst sicher:
[mm] $f(x,y)=\begin{pmatrix} x^4-6x^2y^2+y^4 \\ 4x^3y-4xy^3 \end{pmatrix}$
[/mm]
als Funktion [mm] $\IR^2 \setminus \{\vektor{0\\0}\} \to \IR^2 \setminus \{\vektor{0\\0}\}\,.$
[/mm]
Hierbei fasse ich [mm] $\IR^2$ [/mm] stets als "Raum mit Spaltenvektorelementen" auf.
> Gibt es ein Punkt (w,z) [mm]\in\ R^2\{(0,0)}[/mm] mit # f^-1({w,z})
> [mm]\ne[/mm] 4 ?
Es ist also die Frage: Gibt es ein [mm] $\vektor{w\\z} \in \IR^2 \setminus \{\vektor{0\\0}\}$ [/mm] mit
[mm] $\left|f^{-1}(\left\{\vektor{w\\z}\right\})\right| \ne [/mm] 4$?
Kannst Du uns das alles so bestätigen? Denn vorher braucht man sich
gar nicht mit der Aufgabe zu befassen.
P.S. Oben schreibe ich (in üblicher Konvention) [mm] $f(x,y):=f((x,y)):=f(\vektor{x\\y})$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ja kann ich so bestätigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 18.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
es geht offenbar darum, zu untersuchen, ob es für [mm] (w,z)\not=(0,0) [/mm] immer genau 4 Paare [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] gibt, so dass f(x,y)=(w,z) ist.
Dazu forme am besten folgendermaßen um :
w = [mm] x^4-6x^2y^2+y^4 [/mm] = [mm] x^4-2x^2y^2+y^4 [/mm] - [mm] 4x^2y^2 [/mm] = [mm] (x^2-y^2)^2-(2xy)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2
[/mm]
z = [mm] 4x^{3}y [/mm] - [mm] 4xy^3 [/mm] = [mm] 2(x^2-y^2)*2xy [/mm] = 2ab
mit a = [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] und b = 2xy
Du hast also zweimal das gleiche Problem zu lösen :
Gibt es zu (w,z) immer genau 2 Paare (a,b) und gibt es dann zu jedem dieser Paare (a,b) immer genau zwei Paare (x,y) und sind die alle verschieden ?
(Tipp : Löse die z-Gleichung nach b auf, setze in die w-Gleichung ein und löse die bi-quadratische Gleichung nach a auf.)
Gruß Sax.
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> Hi,
>
> es geht offenbar darum, zu untersuchen, ob es für
> [mm](w,z)\not=(0,0)[/mm] immer genau 4 Paare [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] gibt,
> so dass f(x,y)=(w,z) ist.
>
> Dazu forme am besten folgendermaßen um :
>
> w = [mm]x^4-6x^2y^2+y^4[/mm] = [mm]x^4-2x^2y^2+y^4[/mm] - [mm]4x^2y^2[/mm] =
> [mm](x^2-y^2)^2-(2xy)^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm]
>
> z = [mm]4x^{3}y[/mm] - [mm]4xy^3[/mm] = [mm]2(x^2-y^2)*2xy[/mm] = 2ab
>
> mit a = [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] und b = 2xy
>
>
> Du hast also zweimal das gleiche Problem zu lösen :
> Gibt es zu (w,z) immer genau 2 Paare (a,b) und gibt es
> dann zu jedem dieser Paare (a,b) immer genau zwei Paare
> (x,y) und sind die alle verschieden ?
>
> (Tipp : Löse die z-Gleichung nach b auf, setze in die
> w-Gleichung ein und löse die bi-quadratische Gleichung
> nach a auf.)
>
> Gruß Sax.
>
Danke Sax, ich hab das jetzt mal so gemacht, wie dus gesagt hast, und muss die biquadratische Gleichung substituieren. [mm] a^2 [/mm] habe ich also mal f genannt, dann bekomme ich für [mm] f_1 [/mm] := [mm] \bruch [/mm] (4w+ [mm] 4*\wurzel {w^2-z^2}\ [/mm] ) :8 und für [mm] f_2 :=\bruch [/mm] (4w- [mm] 4*\wurzel {w^2-z^2}\) [/mm] ) :8 dann ist jeweils die positive und negative Wurzel dieser Ergebnisse, das Ergebnis für a.
Wie gehe ich jetzt vor? bzw was ist genau mein Ziel?
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Hallo ElizabethBalotelli,
> > Hi,
> >
> > es geht offenbar darum, zu untersuchen, ob es für
> > [mm](w,z)\not=(0,0)[/mm] immer genau 4 Paare [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] gibt,
> > so dass f(x,y)=(w,z) ist.
> >
> > Dazu forme am besten folgendermaßen um :
> >
> > w = [mm]x^4-6x^2y^2+y^4[/mm] = [mm]x^4-2x^2y^2+y^4[/mm] - [mm]4x^2y^2[/mm] =
> > [mm](x^2-y^2)^2-(2xy)^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] - [mm]b^2[/mm]
> >
> > z = [mm]4x^{3}y[/mm] - [mm]4xy^3[/mm] = [mm]2(x^2-y^2)*2xy[/mm] = 2ab
> >
> > mit a = [mm]x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] und b = 2xy
> >
> >
> > Du hast also zweimal das gleiche Problem zu lösen :
> > Gibt es zu (w,z) immer genau 2 Paare (a,b) und gibt es
> > dann zu jedem dieser Paare (a,b) immer genau zwei Paare
> > (x,y) und sind die alle verschieden ?
> >
> > (Tipp : Löse die z-Gleichung nach b auf, setze in die
> > w-Gleichung ein und löse die bi-quadratische Gleichung
> > nach a auf.)
> >
> > Gruß Sax.
> >
>
> Danke Sax, ich hab das jetzt mal so gemacht, wie dus gesagt
> hast, und muss die biquadratische Gleichung substituieren.
> [mm]a^2[/mm] habe ich also mal f genannt, dann bekomme ich für [mm]f_1[/mm]
> := [mm]\bruch[/mm] (4w+ [mm]4*\wurzel {w^2-z^2}\[/mm] ) :8 und für [mm]f_2 :=\bruch[/mm]
> (4w- [mm]4*\wurzel {w^2-z^2}\)[/mm] ) :8 dann ist jeweils die
> positive und negative Wurzel dieser Ergebnisse, das
> Ergebnis für a.
>
> Wie gehe ich jetzt vor? bzw was ist genau mein Ziel?
>
Dann hast Du sicher auch die entsprechenden Lösungen für b.
Löse dann das Gleichungssystem
[mm]a=x^{2}-y^{2}[/mm]
[mm]b=2*x*y[/mm]
nach x und y auf.
Gruss
MathePower
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Ohja, ich hatte tatsächlich einen Fehler in der p-q Formel.
Meine Ergebnisse für a lauten:
[mm] a_1:= \wurzel {4w+4*\wurzel {w^2+z^2}\bruch {8}}
[/mm]
und für [mm] a_2:= \wurzel {4w-4*\wurzel {w^2+z^2}\bruch {8}}
[/mm]
für [mm] b_1:= [/mm] enthalte ich [mm] \wurzel {-w+\bruch{4w+4*\wurzel {w^2+z^2}}{8}}
[/mm]
und für [mm] b_2:= \wurzel {-w+\bruch{4w-*\wurzel {w^2+z^2}}{8}}
[/mm]
Dann erhalte ich noch für [mm] x_1:= \wurzel {\bruch{{-4a+4\wurzel {a^2+b^2}}{-8}}} [/mm]
und für [mm] x_2:= \wurzel [/mm] { [mm] \bruch{{-4a-4\wurzel {a^2+b^2}}{-8}}} [/mm]
[mm] y_1:= \bruch {b}{2\wurzel { \bruch{-4a+4\wurzel{a^2+b^2}}{-8}}}
[/mm]
und [mm] y_2:= \bruch {b}{2\wurzel {\bruch{-4a-4\wurzel{a^2+b^2}}{-8}}}
[/mm]
Kann das sein? Alle x, y, a, und b haben 2 Möglichkeiten vorzukommen und alle Paare sind untereinander veschieden. Also um zurück zur Aufgabenstellung zu kommen, würde es ein solches (w,z) nicht geben.?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 23.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
es fehlen folgende Überlegungen :
Erstens : Die Gleichung [mm] c^2 [/mm] = 121 hat zwei Lösungen in [mm] \IR [/mm] !
Zweitens : Unter welcher Voraussetzung ist dein [mm] a_2 [/mm] reell und welche Konsequenzen ergeben sich daraus ?
Gruß Sax.
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ja, das heißt für a, b, x und y hat man von den zwei Möglichkeiten jeweils noch die positive und die negative Wurzel, also insgesamt pro "Buchstabe" 4 Möglichkeiten. Und [mm] a_2 [/mm] existiert nur reell, wenn der Wurzelinhalt größer Null ist. Das heißt, dann habe ich für a eigentlich nur drei Möglichkeiten. Welche Konsequenzen hat das jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mo 24.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> ja, das heißt für a, b, x und y hat man von den zwei
> Möglichkeiten jeweils noch die positive und die negative
> Wurzel, also insgesamt pro "Buchstabe" 4 Möglichkeiten.
Mir ist nicht ganz klar, wovon du hier sprichst
> Und [mm]a_2[/mm] existiert nur reell, wenn der Wurzelinhalt größer
> Null ist.
Er kann auch = 0 sein.
> Das heißt, dann habe ich für a eigentlich nur
> drei Möglichkeiten.
Welche drei meinst du ?
Vergessen wir mal diese ganze Diskussion, es gibt nämlich einen sehr viel einfacheren Lösungsweg. Beachte dazu, dass die Funktion f in Wirklichkeit nichts anderes bewirkt als die vierte Potenz der komplexen Zahl x + iy.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine angegebenen Lösungen stimmen nicht. (p-q-Formel richtig anwenden !)
Gruß Sax.
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