Umkehrfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Fr 21.06.2013 | | Autor: | drossel |
Hallo,
ich bin gerade dabei Bijektivität (eigentlich Surjektivität) nachzuweisen, hänge aber etwas.
Die Abbildung:
[mm] f:A\to [/mm] B
[mm] f(x,y,z)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})
[/mm]
[mm] A=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: ||A||\le 1 und z=0\}
[/mm]
[mm] B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: ||A||= 1 und z\ge0\}
[/mm]
Wie bei der Surjektivität, bzw oder wenn ich direkt eine Umkehrabbildung hinschreiben will hänge ich an dem [mm] \sqrt{1-x^2-y^2}.
[/mm]
Ich weiss wie man das prinzipiell macht, aber nur hier konkret hänge ich etwas. Will jetzt herauskriegen wie die Umkehrfkt. aussehen soll:
ich hätte ja [mm] (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})=(u,v,w) [/mm] u=x, v=y und [mm] w=\sqrt{1-x^2-y^2}
[/mm]
also [mm] -w^2+1=x^2+y^2 [/mm] (was ja [mm] u^2+v^2 [/mm] ist)
und dann?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich bin gerade dabei Bijektivität (eigentlich
> Surjektivität) nachzuweisen, hänge aber etwas.
> Die Abbildung:
> [mm]f:A\to[/mm] B
> [mm]f(x,y,z)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})[/mm]
> [mm]A=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: ||A||\le 1 und z=0\}[/mm]
was soll dabei [mm] $\|A\|$ [/mm] bedeuten? Steht da eher [mm] $\|(x,y,z)\|$?
[/mm]
> [mm]B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: ||A||= 1 und z\ge0\}[/mm]
Die gleiche Frage!
> Wie bei der Surjektivität, bzw oder wenn ich direkt eine
> Umkehrabbildung hinschreiben will hänge ich an dem
> [mm]\sqrt{1-x^2-y^2}.[/mm]
> Ich weiss wie man das prinzipiell macht, aber nur hier
> konkret hänge ich etwas. Will jetzt herauskriegen wie die
> Umkehrfkt. aussehen soll:
>
> ich hätte ja [mm](x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})=(u,v,w)[/mm] u=x, v=y und
> [mm]w=\sqrt{1-x^2-y^2}[/mm]
> also [mm]-w^2+1=x^2+y^2[/mm] (was ja [mm]u^2+v^2[/mm] ist)
> und dann?
Die Umkehrfunktion kannst Du überhaupt erst angeben, wenn Du
Bijektivität (je nach Definition reicht auch Injektivität) nachgewiesen
hast - bzw. besser: Du kannst natürlich auch die Umkehrfunktion [mm] $g\,$ [/mm] "raten",
und dann beweisen, dass $g [mm] \circ f=\text{id}_A$ [/mm] und $f [mm] \circ g=\text{id}_B$ [/mm] gilt. Aber dann brauchst Du Dich
auch nicht mehr um Injektivität und Surjektivität zu kümmern, denn wenn
es ein $g [mm] \colon [/mm] B [mm] \to [/mm] A$ so gibt, dann ist [mm] $f\,$ [/mm] (und auch [mm] $g\,$) [/mm] schon bijektiv.
Ansonsten:
Sei $(u,v,w) [mm] \in B\,.$ [/mm] Wenn oben anstatt [mm] $\|A\|$ [/mm] halt [mm] $\|(x,y,z)\|$ [/mm] steht, dann gilt:
Es ist [mm] $\|(u,v,w)\|=\sqrt{u^2+v^2+w^2}=1\,,$ [/mm] wobei $w [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Setze [mm] $x:=u\,,$ [/mm] $y:=v$ und [mm] $z:=0\,.$ [/mm] Dann gilt
$$(x,y,z)=(u,v,0) [mm] \in A=\{(r,s,0) \in \IR^3:\;\;\|(r,s,0)\|=\sqrt{r^2+s^2+0^2}=\sqrt{r^2+s^2} \le 1\}=\{(r,s,0) \in \IR^3:\;\;r^2+s^2 \le 1\}\,,$$
[/mm]
denn wegen $(u,v,w) [mm] \in [/mm] B$ gilt
[mm] $$\|(u,v,w)\|=\sqrt{u^2+v^2+w^2}=1$$
[/mm]
und weil [mm] $[0,\infty) \ni [/mm] t [mm] \mapsto t^2 \in \IR$ [/mm] streng wachsend ist, muss daher [mm] $\sqrt{u^2+v^2} \le [/mm] 1$ und damit auch
[mm] $u^2+v^2 \le [/mm] 1$ sein.
Wegen $w [mm] \ge [/mm] 0$ liefert [mm] $\sqrt{u^2+v^2+w^2}=1$ [/mm] dann zudem
[mm] $$(\star)\;\;\;\;\;\;w=\sqrt{1-u^2-v^2}\,.$$
[/mm]
(Beachte: Das können wir so nur wegen $w [mm] \ge [/mm] 0$ folgern - wäre auch $w < [mm] 0\,$ [/mm] möglich,
so könnte man aus [mm] $\sqrt{u^2+v^2+w^2}=1$ [/mm] nur $w [mm] \in \{\pm \sqrt{1-u^2-v^2}\}$ [/mm] folgern!)
Ferner gilt für $(x,y,z)=(u,v,0)$
[mm] $$f(x,y,z)=(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})=(u,v,\sqrt{1-u^2-v^2})\stackrel{(\star)}{=}(u,v,w)\,.$$
[/mm]
Das war's auch schon, denn $(u,v,w) [mm] \in [/mm] B$ war beliebig!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Fr 21.06.2013 | | Autor: | drossel |
Hi
danke für die Antwort. ups ja, da hab ich beide Male ausversehen was falsches aufgeschrieben und es bei dem nochmal drüber schauen nicht bemerkt. also [mm] \|(x,y,z)\| [/mm] ist gemeint.
Und so meinte ich dass auch, dass man erst eine Abbildung angeben müsste und dann zeigen muss, dass es die Umkehrfunktion ist, sry ist nicht gut wenn man von vornherein Umkehrfkt. dazu sagt obwohl man das noch nicht weiss.
Das würde ja dann die Surjektivität zeigen oder?
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Sa 22.06.2013 | | Autor: | drossel |
dankeschön nochmal, hat sich jetzt alles geklärt. danke:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi
> danke für die Antwort. ups ja, da hab ich beide Male
> ausversehen was falsches aufgeschrieben und es bei dem
> nochmal drüber schauen nicht bemerkt. also [mm]\|(x,y,z)\|[/mm] ist
> gemeint.
gut, denn damit habe ich ja auch gearbeitet. 
> Und so meinte ich dass auch, dass man erst eine Abbildung
> angeben müsste und dann zeigen muss, dass es die
> Umkehrfunktion ist, sry ist nicht gut wenn man von
> vornherein Umkehrfkt. dazu sagt obwohl man das noch nicht
> weiss.
>
> Das würde ja dann die Surjektivität zeigen oder?
Genau: Wir haben die Surjektivität gezeigt (und indirekt dabei auch die
Umkehrfunktion angegeben - die Injektivität ist ja leicht einzusehen, und
das hast Du ja anscheinend auch hinbekommen).
> Vielen Dank.
Gerne!
Gruß,
Marcel
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