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Umkehrfunktion Bsp.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:36 Fr 30.10.2009
Autor: monkeyhead

Aufgabe
Die reelle Funktion $f(x)=sinh(x)$ ist streng monoton wachsend; bestimmen Sie die Umkehrfunktion unter Verwendung der Substitution [mm] z=e^x [/mm]
Zeigen Sie explizit, dass die Umkehrfunktion ungerade ist.

Mir kommen zwei Umkehrfunktionen heraus. Woher weiß ich welche in welchem Bereich gültig ist? Wie schreib ich das dann an?

[mm] f^{-1}(x)=ln(x+\wurzel(x^2+1)) [/mm]
[mm] f^{-1}(x)=ln(x-\wurzel(x^2+1)) [/mm]

        
Bezug
Umkehrfunktion Bsp.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:15 Fr 30.10.2009
Autor: fencheltee


> Die reelle Funktion [mm]f(x)=sinh(x)[/mm] ist streng monoton
> wachsend; bestimmen Sie die Umkehrfunktion unter Verwendung
> der Substitution [mm]z=e^x[/mm]
>  Zeigen Sie explizit, dass die Umkehrfunktion ungerade
> ist.
>  Mir kommen zwei Umkehrfunktionen heraus. Woher weiß ich
> welche in welchem Bereich gültig ist? Wie schreib ich das
> dann an?
>  
> [mm]f^{-1}(x)=ln(x+\wurzel(x^2+1))[/mm]
>  [mm]f^{-1}(x)=ln(x-\wurzel(x^2+1))[/mm]  

hallo!
die zweite lösung fällt doch eh raus!
[mm] f^{-1}(x)=ln(x-\wurzel(x^2+1)) [/mm]
[mm] \sqrt{x^2+1} [/mm] ist immer >x (wenn x gegen unendlich geht ist es dann aber fast x), und dies von x abgezogen ist dann immer negativ, womit der ln nicht definiert wäre. wenn du das nicht direkt "siehst", dann mach es rechnerisch.. das argument vom ln muss ja > 0 sein:
[mm] x-\sqrt{x^2+1}> [/mm] 0  [mm] \gdw [/mm] x > [mm] \sqrt{x^2+1} [/mm] für x > 0 dürftest du dann quadrieren
[mm] \gdw x^2 [/mm] > [mm] x^2 [/mm] +1 [mm] \gdw [/mm] 0 > 1 widerspruch..

für ungeradheit ist f(-x)=-f(x) aber dazu hab ich gerade tomaten auf den augen :-(

gruß tee

Bezug
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