Umkehrfunktion & Substitution < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Gegeben sind [mm] sinh(e^x [/mm] - e^-x) & [mm] cosh(e^x [/mm] + e^-x) als Funktion [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR.
[/mm]
Aufgabe:
Begründen Sie, warum die Umkehrfunktion von sinh auf ganz [mm] \IR [/mm] existiert, die von cosh jedoch nicht. Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution z = [mm] e^x, [/mm] das arcosh(y) = ln(y+ [mm] \wurzel{y² - 1} [/mm] die Umkehrfunktion von cosh ist und geben sie deren Definitionsbereich an. |
Hi zusammen,
hier habe ich echt keine Ahnung wie Vorgehen muss. Umkehrfunktion & Substitution wurde in der Vorlesung zumindest noch nicht erklärt.
Ich hoffe mir kann hier jemand auf die Sprünge helfen
|
|
| |
|
Hallo,
zunächst mal: die Funktionen sind nicht wirklich so gegeben, wie du das hier angegeben hast, oder???
> Gegeben sind [mm]sinh(e^x[/mm] - e^-x) & [mm]cosh(e^x[/mm] + e^-x) als
> Funktion [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR.[/mm]
Ich gehe im Folgenden davon aus, dass folgendes vorliegt. Gegeben sind demnach die Funktionen
[mm] f(x)=sinh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{2} [/mm] ; [mm] g(x)=cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}
[/mm]
jeweils für [mm] x\in\IR.
[/mm]
>
> Aufgabe:
> Begründen Sie, warum die Umkehrfunktion von sinh auf ganz
> [mm]\IR[/mm] existiert, die von cosh jedoch nicht. Berechnen Sie mit
> Hilfe der Substitution z = [mm]e^x,[/mm] das arcosh(y) = ln(y+
> [mm]\wurzel{y² - 1}[/mm] die Umkehrfunktion von cosh ist und geben
> sie deren Definitionsbereich an.
> Hi zusammen,
>
> hier habe ich echt keine Ahnung wie Vorgehen muss.
> Umkehrfunktion & Substitution wurde in der Vorlesung
> zumindest noch nicht erklärt.
Na ja, das sollte eigentlich alles aus der Schule bekannt sein.
Was verstehst du denn unter einer Umkehrfunktion? Diesen Begriff zu verstehen, das ist hier der Knackpunkt, dann erschließt sich der Sinn der Frage bei der Sinus hyperbolicus-Funktion ebenso wie die Substitution beim Kosinus hperbolicus.
Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist (-> bitte nachschlagen!). Für stetige Funktionen vom Typ y=f(x) reicht es nach Einschränkung der Zielmenge auf die Bildmmenge (:=Wertebereich) aus, wenn die ursprüngliche Funktion injektiv ist. Dies wiederum ist automatisch gegeben bei strenger Monotonie (-> bitte nachschlagen!).
Heißt also: zeige, dass die Sinus hyperbolicus-Funktion streng monoton steigend ist und leite für eine Einschränkung der Kosinus hyperbolicus-Funktion einen Term für die Umkehrfunktion dieser Einschränkung her. Die Substitution ist hier als Hilfe gedacht, sie vereinfacht die Schreibarbeit bei der notwendigen Rechnung, ist aber nicht unbedingt notwendig.
Ist dir aber unabhängig davon klar, wie man bei vorliegender Umkehrbarkeit die Funktionsgleichung einer Umkehrfunktion vom Typ x=f(y) bekommt?  *
* Der Smiley hat seinen Sinn!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke erstmal für die Antwort.
Ich weiß das die Umkehrfunktion eine inverse Funktion ist.
Mann löst nach x auf und tauscht x & y dann aus.
Dann hatte ich zunächst versucht, bin aber dabei gescheitert weil ich x hier nur als Potenz habe und ich dann nicht hinbekommen habe.
sinh(x) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv. Somit also auch umkehrbar.
cosh(x) ist alles drei nicht und deswegen auch nicht umkehrbar.
Ist das soweit richtig ?
Zur Substitution:
Hier weiß ich nicht wie ich vor zu gehen habe. Muss ich einfach für e die komplexe Zahl z = x + iy einsetzen ?
Und doch die Furnktionen sind genau so angegeben wie ich es in Text geschrieben habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Und doch die Furnktionen sind genau so angegeben wie ich es
> in Text geschrieben habe.
Du widersprichst dir selbst. Du sprichst auf der einen Seite vom Sinus hyperbolicus, dann sagst du wieder, es gehe um die Funktion
[mm] f(x)=sinh(e^x-e^{-x})=sinh(2*sinh(x))
[/mm]
Das ist nicht der Sinus hyperbolicus!
Ebenso ist
[mm] g(x)=cosh(e^x+e^{-x})=cosh(2*cosh(x))
[/mm]
nicht der Kosnus Hyperbolicus.
Könntest du - zur Sicherheit - nochmals bestätigen, dass es wirklich um die Funktionen f und g aus diesem Beitrag geht?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Hier nochmal der Aufgabentext:
Gegeben sind sinh(x) = [mm] \bruch{1}{2}(e^x [/mm] - e^-x) und [mm] cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^x [/mm] + e^-x) als Funktionen [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hier nochmal der Aufgabentext:
>
> Gegeben sind sinh(x) = [mm]\bruch{1}{2}(e^x[/mm] - e^-x) und
> [mm]cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^x[/mm] + e^-x) als Funktionen [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
Ja, jetzt ist es klar. Oben hattest du aber etwas völlig anderes angegeben! Du musst da mehr Gründlichkeit bei der Formulierung deiner Anliegen aufbringen, sonst ist zielführende Hilfe schlechterdings unmöglich!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl!
> Ich weiß das die Umkehrfunktion eine inverse Funktion ist.
> Mann löst nach x auf und tauscht x & y dann aus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann hatte ich zunächst versucht, bin aber dabei
> gescheitert weil ich x hier nur als Potenz habe und ich
> dann nicht hinbekommen habe.
Hast Du den gegebenen Tipp befolgt? Wie weit kommst Du?
> sinh(x) ist injektiv, surjektiv und damit auch bijektiv.
> Somit also auch umkehrbar.
> cosh(x) ist alles drei nicht und deswegen auch nicht
> umkehrbar.
> Zur Substitution:
> Hier weiß ich nicht wie ich vor zu gehen habe. Muss ich
> einfach für e die komplexe Zahl z = x + iy einsetzen ?
Was sollen denn plötzlich komplexe Zahlen hier?
Einfach mal stumpf einsetzen ...
[mm] $\sinh(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-e^{-x} \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-\bruch{1}{e^x}\right)$
[/mm]
Mit der genannten Substitution $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] wird daraus:
$y \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(z \ \red{-} \ \bruch{1}{z}\right)$
[/mm]
Edit: Vorzeichenfehler in Klammer korrigiert.
Und nun forme nach $z \ = \ ...$ um.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
auf die komplexe Zahl bin ich wegen z gekommen. War Quatsch.
Also habe ich folgendes:
y = [mm] \bruch{1}{2}(z [/mm] + [mm] \bruch{1}{z})
[/mm]
2y = z + [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
Weiter komme ich leider schon nicht mehr und wie ich damit zu der angestrebten Lösung von arcosh(y) = ln8y + [mm] \wurzel{y^2 - 1} [/mm] sehe ich gar nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mi 20.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
>
> auf die komplexe Zahl bin ich wegen z gekommen. War
> Quatsch.
>
> Also habe ich folgendes:
> y = [mm]\bruch{1}{2}(z[/mm] + [mm]\bruch{1}{z})[/mm]
> 2y = z + [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
Multipliziere mal die Gleichung mit z, dann subtrahiere 2yz.
Dann solltest du eine quadratische Gleichung in einer schön sortierten Form haben.
Beachte auch den editierten Vorzeichenfehler von Roadrunner, der ändert aber am prinzipiellen weiteren Verfahren nichts.
>
> Weiter komme ich leider schon nicht mehr und wie ich damit
> zu der angestrebten Lösung von arcosh(y) = ln8y +
> [mm]\wurzel{y^2 - 1}[/mm] sehe ich gar nicht.
Das solltest du dann sehen, wenn du die Schritte gemacht hast.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also erstmal danke ihr alle meine Fragen so geduldig beantwortet.
Das multiplizieren mit z hatte ich auch schon mal gemacht. Aber etwas aufgefallen wie ich dann zu der Lösung kann ist mir nicht.
Dann habe ich ja folgendes:
2yz = [mm] z^2 [/mm] + 1
0 = [mm] z^2 [/mm] - 2yz + 1
Und was sollte mir daran jetzt auffallen womit ich auf arcosh(y) = ln(y + [mm] \wurzel{y^2 - 1} [/mm] komme ?
Also entweder bin ich blind oder heute einfach nur blöd. Scheinbar ist es ja mehr als offensichtlich wie man auf die Lösung kommt.
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
>
> also erstmal danke ihr alle meine Fragen so geduldig
> beantwortet.
>
> Das multiplizieren mit z hatte ich auch schon mal gemacht.
> Aber etwas aufgefallen wie ich dann zu der Lösung kann ist
> mir nicht.
> Dann habe ich ja folgendes:
> 2yz = [mm]z^2[/mm] + 1
> 0 = [mm]z^2[/mm] - 2yz + 1
Das ist eine quadratische Gleichung in z, die du lösen kannst.
Das gibt 2 Lösungen für z, die du resubstituieren musst ...
>
> Und was sollte mir daran jetzt auffallen womit ich auf
> arcosh(y) = ln(y + [mm]\wurzel{y^2 - 1}[/mm] komme ?
Das siehst du, wenn du die Lösungen in z hast und resubstituierst.
Überlege, warum das nur eine eingeschränkte Umkehrfunktion ist ...
> Also entweder bin ich blind oder heute einfach nur blöd.
> Scheinbar ist es ja mehr als offensichtlich wie man auf die
> Lösung kommt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
dann wende ich also die pq-Formel an und bekomm folgendes.
z1,2 = [mm] -\bruch{2y}{2} \pm\wurzel{(\bruch{2y}{2})^2 - 1}
[/mm]
Ich weiß [mm] \bruch{2y}{2} [/mm] = y
Dann ersetze ich z wieder durch [mm] e^x [/mm] und trotzdem sehe ich ganz ehrlich nichts was mich auf die Lösung bringt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Gleichung
0 = $ [mm] z^2 [/mm] $ - 2yz + 1
hat die Lösungen
[mm] z_{1/2}=y \pm \wurzel{y^2-1}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ja ich habe da einen Vorzeichenfehler gemacht.
Ok das habe ich jetzt soweit verstanden.
Nun fehlt mir ja noch die Resubstitution mit z = [mm] e^x.
[/mm]
[mm] e^x [/mm] 1,2 = y [mm] \pm\wurzel{y² - 1}
[/mm]
x1,2 = ln(y + [mm] \pm\wurzel{y^2 - 1})
[/mm]
So kenne ich die Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus.
Nun:
Wie weiß ich nun ob ich + oder - nehmen muss ?
Und eine weitere Frage habe ich noch:
Wie ist jetzt eingentlich der Definitionsbereich ? Sind das alle [mm] \IR [/mm] aus die Zahl womit ln(0) da stehen würde ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch vorher überlegt (hoffentlich) dass du den cosh nur für bestimmte x umkehren kannst. daraus folgt dann was du nehmen musst. vergleiche etwa mit der Umkehrfkt von [mm] f(x)=x^2+2 [/mm] !
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Bindl |
Danke für die zahlreiche Hilfe zur endgültigen Lösung der Aufgabe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Bindl!
Bitte beachte, dass ich oben leider einen Tippfehler / Vorzeichenfehler eingebaut hatte (ist nunmehr korrigiert).
Aber mit $y \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(z\red{+}\bruch{1}{z}\right)$ [/mm] hast Du dann gleich die Umrechnung für [mm] $\cosh(x)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
