Umkehrfunktion bei ln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = ln [mm] \bruch{x+1}{6-|x|}
[/mm]
Aufgabe 5:
a) Die Einschränkung von f auf ]-1;0] wird mit g bezeichnet. Begründe, dass g eine Umkehrfunktion g^-1 und zeige, dass gilt g^-1(x) = [mm] -1-\bruch{5e^x}{e^x-1}.
[/mm]
b) Im dritten Quadranten wird durch die Koordinatenachsen, den Graphen von g und die Gerade mit der Gleichung x = -1 ein Flächenstück begrenzt. Zeige, dass es einen endlichen Inhalt besitzt und gebe diesen an.
7. Aufgabe:
Untersuche für welchen Wert von x der Term (x+1)*(6-x) ein lokales Extremum hat. Begründe ohne Verwendung von f'' anhand des Terms f'(x), das [mm] G_{f} [/mm] in ]0;6[ genau einen Wendepunkt W besitzt. |
Mit der 5a) hatte ich keine Probleme - Term soweit berechnet, umgeformt ..., aber mit der 5b).
Soweit ich weiß, ist das Integral von ln(x): xlnx-x; da es sich hierbei um ein uneigentlichen Integral handelt, habe ich versucht a an die -1 von rechts anzunähern, komme dabei aber immer auf das Ergebnis [mm] -\infty. [/mm] Jedoch soll sich laut Aufgabenstellung ein endlicher Inhalt ergeben. Laut Turboplot ca. 2,704 - ich komme nicht auf diesen Wert. Vielleicht habe ich einen Denkfehler, kann mir bitte jemand helfen.
Bei der Aufgabe 7 hat es bei mir total ausgesetzt. Was soll ich eigentlich machen? Einfach den angegebenen Term ausmultiplizieren und dann die erste Ableitung bilden? Wie kann ich nun aber ohne f'' begründen, dass es nur einen Wendepunkt gibt - ich brauche doch für das Krümmungsverhalten auch f''(x) oder kann ich mittels Monotonieverhalten argumentieren?
Vielen Dank für alle Vorschläge.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Sa 25.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion f(x) = ln [mm]\bruch{x+1}{6-|x|}[/mm]
>
> Aufgabe 5:
> a) Die Einschränkung von f auf ]-1;0] wird mit g
> bezeichnet. Begründe, dass g eine Umkehrfunktion g^-1 und
> zeige, dass gilt g^-1(x) = [mm]-1-\bruch{5e^x}{e^x-1}.[/mm]
> b) Im dritten Quadranten wird durch die Koordinatenachsen,
> den Graphen von g und die Gerade mit der Gleichung x = -1
> ein Flächenstück begrenzt. Zeige, dass es einen endlichen
> Inhalt besitzt und gebe diesen an.
>
> 7. Aufgabe:
> Untersuche für welchen Wert von x der Term (x+1)*(6-x) ein
> lokales Extremum hat. Begründe ohne Verwendung von f''
> anhand des Terms f'(x), das [mm]G_{f}[/mm] in ]0;6[ genau einen
> Wendepunkt W besitzt.
> Mit der 5a) hatte ich keine Probleme - Term soweit
> berechnet, umgeformt ..., aber mit der 5b).
> Soweit ich weiß, ist das Integral von ln(x): xlnx-x; da es
> sich hierbei um ein uneigentlichen Integral handelt, habe
> ich versucht a an die -1 von rechts anzunähern, komme dabei
> aber immer auf das Ergebnis [mm]-\infty.[/mm] Jedoch soll sich laut
> Aufgabenstellung ein endlicher Inhalt ergeben. Laut
> Turboplot ca. 2,704 - ich komme nicht auf diesen Wert.
> Vielleicht habe ich einen Denkfehler, kann mir bitte jemand
> helfen.
>
> Bei der Aufgabe 7 hat es bei mir total ausgesetzt. Was soll
> ich eigentlich machen? Einfach den angegebenen Term
> ausmultiplizieren und dann die erste Ableitung bilden? Wie
> kann ich nun aber ohne f'' begründen, dass es nur einen
> Wendepunkt gibt - ich brauche doch für das
> Krümmungsverhalten auch f''(x) oder kann ich mittels
> Monotonieverhalten argumentieren?
Der Term f(x) ist ein quadratischer Term, sein Abbild ist eine Parabel. Quadratische Parabeln haben keinen Wendepunkt.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank für alle Vorschläge.
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Einstein_1977,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = ln [mm]\bruch{x+1}{6-|x|}[/mm]
>
> Aufgabe 5:
> a) Die Einschränkung von f auf ]-1;0] wird mit g
> bezeichnet. Begründe, dass g eine Umkehrfunktion g^-1 und
> zeige, dass gilt g^-1(x) = [mm]-1-\bruch{5e^x}{e^x-1}.[/mm]
> b) Im dritten Quadranten wird durch die Koordinatenachsen,
> den Graphen von g und die Gerade mit der Gleichung x = -1
> ein Flächenstück begrenzt. Zeige, dass es einen endlichen
> Inhalt besitzt und gebe diesen an.
>
> 7. Aufgabe:
> Untersuche für welchen Wert von x der Term (x+1)*(6-x) ein
> lokales Extremum hat. Begründe ohne Verwendung von f''
> anhand des Terms f'(x), das [mm]G_{f}[/mm] in ]0;6[ genau einen
> Wendepunkt W besitzt.
> Mit der 5a) hatte ich keine Probleme - Term soweit
> berechnet, umgeformt ..., aber mit der 5b).
> Soweit ich weiß, ist das Integral von ln(x): xlnx-x;
Das ist richtig. Aber eine Stammfunktion von $ f(x)= [mm] \ln(x+1) [/mm] $ ist $ F(x)=(x+1)\ [mm] \ln(x+1) [/mm] - x $
> da es sich hierbei um ein uneigentlichen Integral handelt, habe
> ich versucht a an die -1 von rechts anzunähern, komme dabei
> aber immer auf das Ergebnis [mm]-\infty.[/mm] Jedoch soll sich laut
> Aufgabenstellung ein endlicher Inhalt ergeben. Laut
> Turboplot ca. 2,704 - ich komme nicht auf diesen Wert.
> Vielleicht habe ich einen Denkfehler, kann mir bitte jemand
> helfen.
>
> Bei der Aufgabe 7 hat es bei mir total ausgesetzt. Was soll
> ich eigentlich machen? Einfach den angegebenen Term
> ausmultiplizieren und dann die erste Ableitung bilden? Wie
> kann ich nun aber ohne f'' begründen, dass es nur einen
> Wendepunkt gibt - ich brauche doch für das
> Krümmungsverhalten auch f''(x) oder kann ich mittels
> Monotonieverhalten argumentieren?
Überprüfe hier noch mal die Aufgabenstellung.
>
> Vielen Dank für alle Vorschläge.
>
>
Gruß
Sigrid
|
|
|
|
