Umkehrfunktion finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Finde die Umkehrfunktion zu [mm] f(x)=\bruch{x}{1-} [/mm] mit [mm] f:B_1(0)->\IR^n, [/mm] wobei [mm] B_1(0) [/mm] der offene Ball mit ||x||<1 und [mm] x\in\IR^n. [/mm] |
Hallo zusammen :),
ich finde es irgendwie wirklich schwer Umkehrfunktionen im Mehrdimensionalen zu bilden und scheinbar "fallen von den Professoren in den Vorlesungen diese einfach aus dem Himmel"...bei dieser Aufgabe zum Beispiel, was wäre davon die Umkehrfkt. und wie kommt man darauf? Das ist eine Sache, die nach Gesprächen mit meinen Kommilitonen irgendwo vielen schwer fällt. Habt ihr da ein paar Tipps? Also meine persönliche (mehr oder minder bewährte Methode :D) ist es mit viel Herumprobiere an die Sache heranzugehen. Mein Ansatz zu dieser Aufgabe: Ich habe herausgefunden, dass [mm] f(x)=\bruch{x}{sqrt(1-)} [/mm] die Umkehrfunktion [mm] f(x)=\bruch{x}{sqrt(1-)} [/mm] besitzt, aber dann ist Ende, ich dachte mir vllt. kann ich ja damit irgendwie weiterarbeiten, aber dazu fällt mir auch nix Gescheites mehr ein...
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Du solltest dir erst einmal klarmachen, was die verschiedenen Zeichen bedeuten. Der große Bruchstrich steht für die "skalare Division". Strenggenommen handelt es sich hierbei um die skalare Multiplikation des Vektors [mm]x[/mm] mit dem Kehrwert des Nenners. Der Nenner ist immer positiv. Das ist für später wichtig und liegt daran, daß [mm]x[/mm] im Innern der Einheitskugel liegt. Dann ist ja [mm]\langle x,x \rangle[/mm] nichts anderes als [mm]|x|^2[/mm], wobei ich einfache Striche statt der umständlichen Doppelstriche für die euklidische Norm nehme. Man könnte daher auch
[mm]y = f(x) = \lambda x \ \ \text{mit} \ \ \lambda = \frac{1}{1 - |x|^2}[/mm]
schreiben. Wenn man zur Norm übergeht (beachte die allgemeine Regel [mm]\left| \lambda x \right| = |\lambda| \cdot |x|[/mm], wobei rechts zunächst der reelle Betrag, dann die euklidische Norm gemeint ist), erhält man
[mm]|y| = |\lambda| \cdot |x| = \lambda \cdot |x| = \frac{|x|}{1 - |x|^2}[/mm]
Und beim zweiten Gleichheitszeichen wurde verwendet, daß [mm]\lambda>0[/mm] ist. Jetzt sieh [mm]|x| = t[/mm] wie eine gewöhnliche nichtnegative reelle Variable an und löse danach auf. Verwende das in der ursprünglichen Gleichung und löse nach [mm]x[/mm] auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Orchis |
Danke sehr, das hat schon mal geholfen, ich schreibe morgen oder übermorgen mal meine Ausführung hier auf :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Orchis |
Also mit deiner tollen Hilfe habe ich nun die Umkehrfunktion bestimmt. Für die, die die Aufgabe auch mal rechnen wollen hier die Ergebnisse:
Löst man nach ||x|| auf, dann erhält man [mm] ||x||=\bruch{(\wurzel{4||y||^2+1}-1)}{2||y||^2}.
[/mm]
Nachdem man in die Funktion f(x) eingesetzt hat, ergibt sich für x:
[mm] x=\bruch{(y*(\wurzel{4||y||^2+1}-1)}{2||y||^2}. [/mm] Nun noch x und y vertauschen.
Nachweis, dass [mm] f^{-1} [/mm] wirklich die Umkehrfkt. von f ist: z.zg. (f [mm] \circ f^{-1})(x) [/mm] = x und das kommt dann auch tatsächlich raus...war eine ziemliche Rechnerei, aber umso schöner, dass es jetzt richtig ist und es verstanden wurde :).
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Orchis |
Eine Klammer zu viel gesetzt bei x= y*(...)/... Die erste Klammer vor dem y einfach streichen.
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Bei der Norm steht ein Quadrat zu viel. Weiter hinten stimmt es dann.
Beachte, daß die Umformung den Fall [mm]y=0[/mm] nicht behandelt. An der Funktionsgleichung von [mm]f(x)[/mm] kann man jedoch direkt [mm]0 \mapsto 0[/mm] ablesen. Also muß das auch bei der Umkehrfunktion so sein. Um eine Fallunterscheidung zu vermeiden, kann man im Endergebnis den Bruch mit [mm]\sqrt{4 |y|^2 + 1} + 1[/mm] erweitern. Nach Ausmultiplizieren fällt [mm]|y|^2[/mm] durch Kürzen weg.
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