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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Do 25.01.2007 | | Autor: | Mark007 |
Hi, ich habe hier folgende Aufgabe, mit der ich nur in Teilen klarkomme:
Es sieht alles nach viel aus, das ist es aber eigentlich nicht. Wäre nett, wenn jemand sich wenigstens Teile ansehen könnte. Danke
Es geht um Umkehrung von Funktionen:
Für jede Funktion, soll man dies machen:
1)Suchen Sie für die folgenden Funktionen einen geeigneten Monotoniebereich auf dem sich die betreffende Funktion umkehren lässt.
2)Skizzieren Sie den Graphen der entsprechenden Umkehrfunktion
3)Bestimmen Sie in den Fällen, in denen das möglich ist, einen Funktionsterm für diese Umkehrfunktion.
4)Bestimmen sie die Ableitung der Umkehrfunktion.
Nun kommen die Aufgaben. Bei einigen, habe ich ein paar Fragen.
a) f(x)= -3x+1
1)Ich denke hier, ist der Monotoniebereich ein einziger von -unendlich. Bis + unendlich. Kann man das so sagen?
b) f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] Kann man hier zu 1) sagen: Es gibt 2 Monotoniebereiche. Nämlich: x>0 und X<0, denn x= 0 ist nicht definiert. Wäre die Antwort richtig?
c)f(x)= [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] Zu 1) Kann man hier die selbe Begründung für 2 Monotoniebereiche geben, wie bei b), bloß das hier x=1 nicht definiert ist, sondern die Bereiche: x>1 =streng monoton fallend und x<1 streng monoton fallend ?
d)f(x)= [mm] (x-2)^2 [/mm] +1 Zu 1) Gibt es hier auch zwei Monotoniebereiche? Ich würde sagen ja, denn dies ist ne Parabel, nur verschoben. Also x<2 streng moinoton fallend und x>2, streng monoton wachsend.
Zu3) Meine Rechnung hier: [mm] (x-2)^2 [/mm] +1=y
[mm] (y-2)^2 [/mm] +1=x
y= [mm] \wurzel{x-1}+2 [/mm] ABER: Das würde doch nur für x>2 gelten, also nur die rechte Seite der Parabel umkehren! Wenn ich auvch ddie linke umkehren möchte, muss ein Minus vor die Wurzel setzten. Das habe ich Graphisch ausprobiert und herausgefunden. Ich verstehe es nur nicht! Kann mir das jemand erklären?
e) f(x)= cos(x) Zu 1) Was sind hier denn die Monotoniebereiche? Da gibt es doch unendlich viele! Also von x 0 bis pi iust es fallend, von pi bis 2pi wieder steigend usw.
Zu3) Was soll hier der Funktionsterm der Umkehrfunktion sein? Vielleicht: cos(y) ?
g) F(x)= [mm] \wurzel{1-x^2}Zu [/mm] Nr.1) Stimmt es, dass es hier 2 Monotoniebereiche, nämlich von x -1 bis 0 und von x 0 bis 1 gibt?
Zu 3) Was ist hier der Umkehrfunktionsterm?
h) f(x)= [mm] x(x^2-9) [/mm] Was ist hier der Term der Umkehrfunktion?
Danke für die Antwort!
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Hey Mark!
Also ich hab's rasch durchgesehen und die meisten deiner Antworten sind richtig. Monotonie kann man bestimmen indem man sich die erste Ableitung anschaut und Hoch- bzw. Tiefpunkte bestimmt. (Bei so einem Punkt ändert die Steigung ihr Vorzeichen und damit auch die Monotonie). Für Umkehrfunktion gibt es eine einfache Regel. Du brauchst das x und y in deiner Funktion vertauschen und dann nach y auflösen.
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> Nun kommen die Aufgaben. Bei einigen, habe ich ein paar
> Fragen.
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> a) f(x)= -3x+1
> 1)Ich denke hier, ist der Monotoniebereich ein einziger
> von -unendlich. Bis + unendlich. Kann man das so sagen?
Ja, da sie Ableitung f'(x)=-3 ist und keine Extremas aufweist. Was ist denn die Umkehrfunktion?
> b) f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] Kann man hier zu 1) sagen: Es gibt 2
> Monotoniebereiche. Nämlich: x>0 und X<0, denn x= 0 ist
> nicht definiert. Wäre die Antwort richtig?
Ja, 1/x ist monoton fallend für x>0 und auch fallend für x<0. Die Funktion ist aber bijektiv und damit existiert eine Umkehrfunktion, nämlich 1/x.
Die Umkehrfunktion ist gleich der ursprünglichen Funktion.
> c)f(x)= [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] Zu 1) Kann man hier die selbe
> Begründung für 2 Monotoniebereiche geben, wie bei b), bloß
> das hier x=1 nicht definiert ist, sondern die Bereiche: x>1
> =streng monoton fallend und x<1 streng monoton fallend ?
richtig, wie in b). Nur lautet die Umkehrfunktion etwas anders.
> d)f(x)= [mm](x-2)^2[/mm] +1 Zu 1) Gibt es hier auch zwei
> Monotoniebereiche? Ich würde sagen ja, denn dies ist ne
> Parabel, nur verschoben. Also x<2 streng moinoton fallend
> und x>2, streng monoton wachsend.
stimmt!
> Zu3) Meine Rechnung hier: [mm](x-2)^2[/mm] +1=y
> [mm](y-2)^2[/mm] +1=x
> y= [mm]\wurzel{x-1}+2[/mm] ABER: Das würde doch nur für x>2
> gelten, also nur die rechte Seite der Parabel umkehren!
> Wenn ich auvch ddie linke umkehren möchte, muss ein Minus
> vor die Wurzel setzten. Das habe ich Graphisch ausprobiert
> und herausgefunden. Ich verstehe es nur nicht! Kann mir das
> jemand erklären?
Also eine Funktion besitzt eine Umkehrfunktion, nur wenn sie bijektiv ist, d.h. sie muss injektiv und surjektiv sein.
injektiv: heisst, dass zwei verschiedene x-Werte nicht den gleichen y-Wert haben dürfen, d.h. [mm] x_{1} \not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \not=f(x_{2})
[/mm]
Das hier ist nicht erfüllt.
surjektiv: der ganze Wertebereich ist "ausgefüllt". Das ist hier nicht der Fall, da [mm] y_{min} [/mm] im Scheitelpunkt den tiefsten Punkt hat nämlich 1. Wir haben kein x sodass f(x)=-2.
Schlussfolgerung: Du musst ein Intervall für f(x) finden damit f(x) auf diesem Intervall bijektiv ist und die zwei grössten Intervalle wären:
[mm] ]-\infty, [/mm] 2] und [2, [mm] \infty[.
[/mm]
Und das ist ja das was du berechnet hast. Darum hast du zwei Lösungen erhaten: y= [mm] \pm[/mm] [mm]\wurzel{x-1}+2[/mm]
> e) f(x)= cos(x) Zu 1) Was sind hier denn die
> Monotoniebereiche? Da gibt es doch unendlich viele! Also
> von x 0 bis pi iust es fallend, von pi bis 2pi wieder
> steigend usw.
> Zu3) Was soll hier der Funktionsterm der Umkehrfunktion
> sein? Vielleicht: cos(y) ?
Stimmt! Das heisst, nimm ein Intervall wo cos(x) injektiv und surjektiv ist, d.h. Definitionsbereich [mm] [0,\pi] [/mm] und Wertebereich [-1,1]. Der Wertebereich ist eine Kurve, die zwischen 1 und -1 pendelt.
Die Umkehrfunktion heisst y=arccos(x) mit Definitionsbereich [-1,1]. (Der Wertebereich von f(x) wird der Definitonsbereich der Umkehrfunktion.)
> g) F(x)= [mm]\wurzel{1-x^2}Zu[/mm] Nr.1) Stimmt es, dass es hier 2
> Monotoniebereiche, nämlich von x -1 bis 0 und von x 0 bis 1
> gibt?
Monotonie richtig.
Nimm das Intervall [0,1] und als Wertebereich hast du auch [0,1].
Die Umkehrfunktion lautet:
im intervall [0,1]: [mm] x=\wurzel{1-y^{2}}
[/mm]
und umformen nach y.
>
> h) f(x)= [mm]x(x^2-9)[/mm] Was ist hier der Term der Umkehrfunktion?
Hier Monotonie zuerst. Du hast hier einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.
Bestimme mal diese und dann schauen wir weiter. Für die Umkehrfunktion bin ich mir selber noch nicht sicher. :D
Ciao und MfG
GorkyPArk
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