Umkehrfunktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 22.03.2007 | | Autor: | MarekG |
Hallo Eine Frage.
Gibt es zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion.?? UNd falls ja dann würde ich gern wisse wie die von
[mm]f(x) \bruch{1}{x+1}[/mm]
ist.Denn wenn ich nach X auflöse und dann x und y vertausche kommt
[mm]y= \bruch {1}{x}-1[/mm]
Stimmt das???
Danke
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Hallo,
nein, es gibt nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion. Die Funktion muss bijektiv sein d.h. aus [mm] f(x_1) = f(x_2) [/mm] muss [mm]x_1 = x_2 [/mm] folgen. Sei z.B. der Definitionsbereich gleich der Menge der reellen Zahlen dann ist [mm]f(x) := x^2[/mm] nicht umkehrbahr denn es ist z.B. [mm]f(-1) = f(1) = 1[/mm]. Schränkt man aber den Definitionsbereich auf die positiven reellen Zahlen ein dann ist [mm]f[/mm] umkehrbar und es gilt [mm]f^{-1} (x) = \sqrt{x}[/mm]
Dein Beispiel ist korrekt.
Gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Do 22.03.2007 | | Autor: | stey1964 |
Nachtrag: Das Thema ist ziemlich abstrakt. Lies das mal gründlich bei Wikipedia nach. ein Klasse Buch ist auch Herbert Meschkowski "Mathematik verständlich dargestellt".
Und noch was- eine Funktion wird durch drei Daten definiert
1) Definitionsbereich D
2) Wertebereich W
3) Eine Zuordnungsvorschrift die jedem Element aus D (den Urbildern) genau ein (!) Element aus W (die Bilder) zuordnet.
D und W sind natürlich Mengen. Nicht unbedingt aber in der Schule im allgemeinen Zahlenmengen meist reeller Zahlen. Üblicherweise wird in der Schule (und nur dort- grins) der gesamte Bereich der für die als Rechenvorschrift gegebenen Zuordnungsvorschrift definiert ist als Definitionsmenge genommen (uff- ich kanns einfach nicht einfacher ausdrücken- sorry). Das stellt die Sache leider etwas auf den Kopf. In deinem Beispiel [mm]f(x)=\frac{1}{x+1}[/mm] wären das die reellen Zahlen ohne die -1. In Zeichen [mm]\mathbb{R} \setminus \{ -1 \} [/mm]
im Fall von [mm]f(x) = x^2[/mm] mit D[mm]= \mathbb{R}[/mm] wird z.B. der zwei die vier zugeordnet. Nicht alle Elemente aus W müssen Urbilder besitzen, einige Elemente aus W können dieselben Urbilder besitzen (dann ist aber f natürlich nicht mehr bijektiv)
Ein Beispiel hierfür:
Sei D = W = [mm]\mathbb{R}[/mm] und [mm]f(x) = 4[/mm] für alle (und wirklich für alle!) [mm]x \in \mathbb{R}[/mm]. Das Schaubild ist eine Parallele zur x Achse durch den y- Wert 4. Sowas ist natürlich auch nicht umkehrbar.
Ich hoffe das kam rüber. Das Thema ist, wie schon gesagt, ziemlich abstrakt. Auf der Schule hat man das üblicherweise nicht in dieser "Präzision"- auch auf dem Gymnasium nicht.
Gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Fr 23.03.2007 | | Autor: | MarekG |
Hallo
Das war sehr ausführlich.
Danke schön für deine Mühe.
Gruß Marek
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Hi,
> Üblicherweise wird in der Schule (und nur dort- grins)
> der gesamte Bereich der für die als Rechenvorschrift
> gegebenen Zuordnungsvorschrift definiert ist als Definitionsmenge
> genommen (uff- ich kanns einfach nicht einfacher ausdrücken- sorry).
Ist das denn falsch so? Die Abbildung [mm] $x\mapsto x^2$ [/mm] ist doch für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] definiert, oder etwa nicht?
Gruß, Stefan.
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> Die Abbildung [mm]x\mapsto x^2[/mm] ist doch
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] definiert, oder etwa nicht?
Hallo,
klar ist [mm] f(x)=x^2 [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert, da iliegt nicht das Problem.
Es geht um die Injektivität.
f ist nicht injektiv, denn es ist ja z.B. f(-5)=f(5)=25
Das macht der Umkehrfunktion, ich nenne sie "u", Probleme, sofern man man keine Einschränkungen macht:
Was sollte u(25) sein? 5 oder -5?
Weil man eine eindeutige Zuordnung benötigt, haben nur solche Funktionen eine Umkehrfunktion, welche im fraglichen Bereich bijektiv sind.
Diese Bijektivität ist für [mm] f(x)=x^2 [/mm] gewährleistet, wenn man
f: [mm] \IR^+ [/mm] --> [mm] f(\IR^+)=\IR^+ [/mm] betrachtet.
Gruß v. Angela
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Hallo Stefan,
der Schulansatz ist nicht falsch aber er stellt die "technische Praktikabilität" des Funktionsbegriffs völlig auf den Kopf. Es ist viel vernünftiger (sowohl aus Gründen eines etwaigen "Realitätsbezugs" wie auch aus Gründen der "reinen Mengenlehre") eine Funktion über diese drei Daten:
1.) Definitionsmenge
2.) Wertemenge
3.) Zuordnungsvorschrift
zu definieren. "Definitionslücken" , "maximale Definitionsmengen" und ähnliches sind aus diesem Blickwinkel absoluter Schrott.
Es ist überhaupt ausgesprochen be.. äh ..scheiden wie die Schulmathematik auf die Uni vorbereitet. Viel zu wenig saubere Mengenlehre und Logik und fast alles "rein euklidisch". Und dann wundern die Leute sich über die hohen Abbrecherquoten.
Gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Fr 23.03.2007 | | Autor: | stey1964 |
Hallo Marek,
keine Ursache- bin leidenschaftlicher Mathe-Mem verbreiter :)
Gruß Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Sa 24.03.2007 | | Autor: | MarekG |
Na dann wärst du die beste Nachhilfe für mich.
Habe seit einer Woche ein Elektrotechnikstudium begonnen.
Und Mathe ist da A und O.
Mein letzter Schulbesuch ist aber schon lange her.
Danke
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