Umkehrpunkte eines Potenzials < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Napkin |
Gegeben sei das Potenzial $ [mm] V(x)=sin^2(x) [/mm] $ in $ [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] $ Man bestimmte für $ E=0,5 $ :
a) die Umkehrpunkte und
b) die Periode ( Ausdruck in Integralform )
Für welche Energie kann man das Integral analytisch bestimmen?
Ich soll die oben genannte Aufgabe lösen, ich habe keine Ahnung wie.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiss was Umkehrpunkte und die Periode sind und wie man sie ausrechnet.
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Hallo!
Die Energie eines Teilchens setzt sich zusammen aus seiner kinetischen Energie und seiner pot. Energie. Die Summe ist gleich, und hier als 0,5 gegeben.
Beim Fadenpendel verläuft das Potential COS-förmig (m*g*h, und h ergibt sich aus dem Winkel), was angenähert sowas wie x² als Potential ergibt:
[mm] V(x)=x^2
[/mm]
Wenn die Energie nun 0.5 sein soll, so heißt das, in der Ruhelage, wo V(x)=0 ist, ist die kin. Energie =0,5.
Bei maximaler Auslenkung, wenn das Pendel für einen Moment steht, steckt die ganze Energie in der pot. Energie, also V(x)=0.5. Wie kommst du jetzt an x?
Generell gilt also:
[mm] V(x)+E_{kin}(x)=x^2+c*\dot{x}^2=0,5
[/mm]
Du kannst dich selbst überzeugen, daß [mm] $x(t)=A\sin(\omega [/mm] t)$ , die Lösung für das Fadenpendel, diese DGL löst.
Kommst du nun mit deiner Aufgabe klar? Die DGL ist was schwieriger, aber letztendlich istst das gleiche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Napkin |
Also (m*g*h, und h ergibt sich aus dem Winkel) soll angenähert :
$ [mm] V(x)=x^2 [/mm] $ sein
$ [mm] V(x)+E_{kin}(x)=x^2+c\cdot{}\dot{x}^2=0,5 [/mm] $
steht das c dort für das $ [mm] \bruch{1}{2}m [/mm] $ ? ( Ekin ist ja $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] m [mm] v^2 [/mm] $ )
Zu der Frage wie ich an x komme, keine Ahnung
Allerdings vom Verständnis her für die Aufgabe komme ich nicht weiter, da ich nicht weiss was Umkehrpunkte sind.
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Hallo!
Das Potential ist völlig ohne Einheiten angegeben, ebenso wie die Energie. Ich hab da mal ein c hingeschrieben, was für irgendeine Konstante stehen kann. Also gerne auch [mm] c=\frac{1}{2}m [/mm] . Interpretiert man x als Winkel der Auslenkung eines Fadenpendels, so wäre [mm] c=\frac{1}{2}J [/mm] , denn die Rotationsenergie wäre [mm] \frac{1}{2}J\dot{x}^2 [/mm] .
Wie dem auch sei, kinetische Energien zeichnen sich durch das Quadrat der Geschwindigkeit (1. Ableitung nach der Zeit) aus, wie auch immer das System parametrisiert ist.
Letztendlich könntest du auch sagen: die pot. Energie des teilchens hängt auch von der Masse ab (im Gravitationsfeld), dann würde sich die Masse rauskürzen, sie spielt beim Fadenpendel wie du weißt keine Rolle.
In meinem Beispiel geht es um ein Fadenpendel. Die Umkehrpunkte sind die Stellen (winkel), an denen das Pendel umkehrt, also die gesamte Energie in Form von pot. Energie, also Potential vorliegt. Das habe ich aber schon geschrieben, und ist fast schon ne rhetorische Frage.
Wenn du nun Schwierigkeiten hast, dein Problem als schwingendes System zu begreifen, stell dir ein anderes Modell vor:
Ersetze das Fadenpendel durch eine Schale, deren Form dem Inneren einer Hohlkugel entspricht, wobei der Radius gleich der Fadenlänge ist. Die Masse gleitet nun reibungsfrei in der Schale.
Vom Bewegungsablauf her entspricht das exakt dem Ablauf beim Pendel!
Beachte, daß die Höhe der Schale durch die Formel [mm] $R*(1-\cos(x))\approx Rx^2$ [/mm] gegeben wird, was also exakt dem Potential aus meinem Beispiel entspricht.
DEIN Potential sieht anders aus, du kannst es dir ebenfalls als Schale vorstellen, mit einer gleitenden Masse darin. Das wird sicher keine harmonische Schwingung sein, aber es sollte klar sein, daß auch in deinem Potential diese Masse schwingt.
Grundsätzlich kannst du dein Potential mal zeichnen, und dazu eine horizontale Grade, deren y-Wert der gegebenen Energie entspricht.
Ein Teilchen mit dieser Energie wird sich überall da aufhalten können, wo die Grade über dem Potential verläuft, nicht aber da, wo das Potential größer ist (Wir lassen den Tunneleffekt mal sein) Die Höhe der Graden über dem Potential gibt die kin. Energie an.
Das heißt aber auch: Wenn du dein Potential mal auf beliebige x ausdehnst, so bekommst du so ein wellenmuster als Struktur, der höchste wert des Potentials ist 1.
Ein Teilchen mit Energie 2 liegt also immer überall über dem Potential, und wird sich unendlich fortbewegen können, denn es gibt keinen Umkehrpunkt.
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