Umkehrung Kettenregel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Boken |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Aktive,
ich habe eine frage zur subsitution bei integralen:
Wieso ist das die Umkehrung der Kettenregel? Was ist zb an einer Funktion wie dieser [mm] \integral_{a}^{b}{(2x+5)² dx} [/mm] eine Umkehrung?
Und ist das der Beweis für die Substitutionsregel?
Es wäre wirklich lieb, wenn mir einer diesen beweis erklären könnte.
boken
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Liebe Aktive,
>
> ich habe eine frage zur subsitution bei integralen:
> Wieso ist das die Umkehrung der Kettenregel? Was ist zb an
> einer Funktion wie dieser [mm]\integral_{a}^{b}{(2x+5)² dx}[/mm]
> eine Umkehrung?
schreibe g(x)=2x+5 dann ist g'(x)=2 und [mm] f(x)=(2x+5)^2 [/mm] kann ich schreiben als 1/2f(g(x))*g'
Die Ableitung von (f(g(x)))'=f'(g)*g' ist die Kettenregel.
da das Integral die Umkehrung der Ableitung ist, ist also
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=1/2*\integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x) dx} =\integral_{a}^{b}{(f(g(x))' dx}=1/2*f(g(x))
[/mm]
> Und ist das der Beweis für die Substitutionsregel?
Wenn dus so wie ich schreibst ja, für diesen Fall.
man kann [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx} [/mm] auch anders schreiben, nämlich mit g'dx=dg und dann
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(g) dg}
[/mm]
Die eigentliche Begründung ist oben , aber viele können technisch besser mit der letzten Schreibweise umgehen, dabei wurde dg/dx=g' "umgeformt" zu dg=g'dx dass man das so schreiben kann siehst du im richtigen Beweis oben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Boken |
Lieber Leduart, sry dass ich das nicht alles so schnell aufnehmen kann und noch ein paar fragen habe:
>
> > Liebe Aktive,
> >
> > ich habe eine frage zur subsitution bei integralen:
> > Wieso ist das die Umkehrung der Kettenregel? Was ist zb
> an
> > einer Funktion wie dieser [mm]\integral_{a}^{b}{(2x+5)² dx}[/mm]
> > eine Umkehrung?
> schreibe g(x)=2x+5 dann ist g'(x)=2 und [mm]f(x)=(2x+5)^2[/mm]
> kann ich schreiben als 1/2f(g(x))*g'
Wieso 1/2 ist das die ableitung der äußeren funktion? also f? und wenn g'=2 ist lautet dann also die gleichung: 1/2 (2x+5)²*2??
aber wenn man jetzt etw. substituiert (2x+5) = u dann steht doch vor dem du immer ein bruch( in demf all doch 1/2 >> also: dx= 1/2 du) und warum steht dann hier keiner? ist dann eins von beiden falsch?
> Die Ableitung von (f(g(x)))'=f'(g)*g' ist die
> Kettenregel.
> da das Integral die Umkehrung der Ableitung ist, ist also
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=1/2*\integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x) dx} =\integral_{a}^{b}{(f(g(x))' dx}=1/2*f(g(x))[/mm]
Warum feht dann in der dritten gleichung auf einmal das g'? und wo wurde ab- bzw. aufgeleiet? Könntest du mir den beweis noch ienmal ausführlicher erklären?
> > Und ist das der Beweis für die Substitutionsregel?
> Wenn dus so wie ich schreibst ja, für diesen Fall.
> man kann [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}[/mm] auch anders
> schreiben, nämlich mit g'dx=dg und dann
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(g) dg}[/mm]
>
> Die eigentliche Begründung ist oben , aber viele können
> technisch besser mit der letzten Schreibweise umgehen,
> dabei wurde dg/dx=g' "umgeformt" zu dg=g'dx dass man das
> so schreiben kann siehst du im richtigen Beweis oben.
> Gruss leduart
>
Danke boken
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> Lieber Leduart, sry dass ich das nicht alles so schnell
> aufnehmen kann und noch ein paar fragen habe:
> >
>
> zb
> > an
> > > einer Funktion wie dieser [mm]\integral_{a}^{b}{(2x+5)² dx}[/mm]
> > > eine Umkehrung?
> > schreibe g(x)=2x+5 dann ist g'(x)=2 und [mm]f(x)=(2x+5)^2[/mm]
> > kann ich schreiben als 1/2f(g(x))*g'
hier brauch ich die 1/2 damit ich schreiben kann f(x)= 1/2f(g(x))*g'
ich hät auch schreiben können 2f(x)=f(g(x))*g' das ergibt sich einfach aus der Wahl von g (bei dir u)
>
> Wieso 1/2 ist das die ableitung der äußeren funktion? also
> f? und wenn g'=2 ist lautet dann also die gleichung: 1/2
> (2x+5)²*2??
ja! denn 1/2*(2x+5)²*2 ist ja f(x)
> aber wenn man jetzt etw. substituiert (2x+5) = u dann steht
> doch vor dem du immer ein bruch( in demf all doch 1/2 >>
> also: dx= 1/2 du) und warum steht dann hier keiner? ist
> dann eins von beiden falsch?
ich hab ja noch nicht substituiert, du wolltest einen Beweis, da schreib ich erst mal f(x) um als f(u(x)*u' und genau weil du nicht dx ist kommt das 1/2
> > Die Ableitung von (f(g(x)))'=f'(g)*g' ist die
> > Kettenregel.
> > da das Integral die Umkehrung der Ableitung ist, ist
> also
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=1/2*\integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x) dx} =\integral_{a}^{b}{(f(g(x))' dx}=1/2*f(g(x))[/mm]
Das hatte ich doch hingeschrieben, DIE STELLE ist die "umkehrung der Kettenregel, ich hab fg' ersetzt durch (f(g))' das stand 2 Zeilen drüber.
> Warum feht dann in der dritten gleichung auf einmal das g'?
> und wo wurde ab- bzw. aufgeleiet? Könntest du mir den
> beweis noch ienmal ausführlicher erklären?
dann hatte ich doch unter dem Integral nur noch ne Ableitung stehen, nämlich die von f(g) die wurde "aufgeleitet (ein schreckliches Wort, das Lehrer nicht mathematiker benutzen!)
> > > Und ist das der Beweis für die Substitutionsregel?
> > Wenn dus so wie ich schreibst ja, für diesen Fall.
> > man kann [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}[/mm] auch
> anders
> > schreiben, nämlich mit g'dx=dg und dann
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x)*g'(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(g) dg}[/mm]
>
> >
> > Die eigentliche Begründung ist oben , aber viele können
> > technisch besser mit der letzten Schreibweise umgehen,
> > dabei wurde dg/dx=g' "umgeformt" zu dg=g'dx dass man das
> > so schreiben kann siehst du im richtigen Beweis oben.
Ists jetzt klarer?
eigentlich hab ich gesagt, du kannst nur substituiern, wenn du die zu integrierende Funktion f(x) als f(u(x))*u' schreiben kannst, (wenn da noch ein Zahlenfaktor falsch ist (wie hier die 2) ergänzt man halt mit dem Kehrwert.)
(Du kannst doch auch -und tust es in Gedanken auch-
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2 dx}=1/3\integral_{a}^{b}{(x^3)' dx} [/mm] schreiben, daraus begründet sich doch die Integrationsregel für [mm] x^3 [/mm] oder [mm] x^n, [/mm] hier natürlich keine Substitution)
Ist es etwas klarer? sonst frag weiter.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Boken |
also ganz klar ist es mir noch nicht - aber uf jeden fall schon viel klarer als vorher!!
Vielen dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
vielleicht hilft dir die Diskussion hier
gruss leduart
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