Umlaufzahl Kurve in C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Seien [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] zwei geschlossene Kurven mit Parametrisierung [mm] \gamma_{1}, \gamma_{2}:
[/mm]
[mm] [\alpha,\beta] [/mm] -> [mm] \IC. [/mm] Es gelte [mm] \gamma_{1}'(t)\gamma_{2}(t)+\gamma_{1}(t)\gamma_{2}'(t)\not=0 [/mm] für alle [mm] t[\alpha, \beta], [/mm] 0 [mm] \not\in |C_{i}|, [/mm] i=1,2.
a) Zeigen Sie: [mm] \gamma_{1}, \gamma_{2}:
[/mm]
[mm] [\alpha,\beta] [/mm] -> [mm] \IC [/mm] parametrisiert eine Kurve C, für die
n(C, [mm] 0)=n(C_{1}, 0)+n(c_{2}, [/mm] 0) gilt. |
| Aufgabe 2 | | b) Gilt zusätzlich [mm] |\gamma_{1}(t) [/mm] - [mm] \gamma_{2}(t)|<|\gamma_{1}(t)| [/mm] für alle t [mm] \in [\alpha, \beta], [/mm] so folgt [mm] n(C_{1}, 0)=n(C_{2}, [/mm] 0). |
| Aufgabe 3 | | c) Es sei nun f ein Polynom und [mm] \gamma_{1}(t) [/mm] = [mm] f(re^{it}), [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 2\pi], [/mm] r > 0 die Parametrisierung von [mm] C_{1}. [/mm] Bestimmen Sie die Umlaufzahl [mm] n(C_{1}, [/mm] 0) für große r. |
Die Umlaufzahl ist definiert als, n(k, [mm] z_{0}):= 1/(2i\pi) \integral_{a}{1/(z-z_{0}) dz}
[/mm]
Ich bin hier Leider sehr überfragt, wobei ich zu b) eine ähnliche Konstruktion in einem Skript gefunden habe, was mir aber nicht sonderlich weiterhilft, da ich a) nicht lösen kann und zur Lösung von b) scheinbar aus a) gefolgert werden soll.
Für a) habe ich den vagen Ansatz irgendwie aus [mm] h(t)=1/(2i\pi) \integral_{0}^{1}{\gamma‘(s)/(\gamma(s)-z) ds}, t\in [/mm] [0,1]
=> h(0)=0 und h(1)=n(C,z)
und [mm] h‘(t)=1/(2i\pi) \gamma(t)/(\gamma(t)-z)
[/mm]
zu verwenden, wobei ich diesen Ansatz aus einem Beweis abgeleitet habe.
Hilft dies irgendwie weiter, also wenn man Funktionen h, [mm] h_{1}, h_{2} [/mm] mit den entsprechenden Kurven [mm] C_{i} [/mm] identifiziert und dann [mm] h_{1} [/mm] und [mm] h_{2} [/mm] einfach addiert und das zu zeigende damit zeigt bzw. ist dies überhaupt richtig?
Ein anderer Ansatz erschließt sich mir hier leider nicht wirklich.
Bei c) bin ich auch etwas überfragt, man muss denk ich eine Grenzwertbetrachtung durchführen und wahrscheinlich nach der Definition der Umlaufzahl das Integral (mit den Chauchy Integralsatz) lösen? Und erhält dann n? Wobei dies auch einfacher gesagt als getan ist, da f ja nicht gegeben ist.
Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe
Mit freundlichen grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 19.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] zwei geschlossene Kurven mit
> Parametrisierung [mm]\gamma_{1}, \gamma_{2}:[/mm]
> [mm][\alpha,\beta][/mm] ->
> [mm]\IC.[/mm] Es gelte
> [mm]\gamma_{1}'(t)\gamma_{2}(t)+\gamma_{1}(t)\gamma_{2}'(t)\not=0[/mm]
> für alle [mm]t[\alpha, \beta],[/mm] 0 [mm]\not\in |C_{i}|,[/mm] i=1,2.
>
>
>
> a) Zeigen Sie: [mm]\gamma_{1}, \gamma_{2}:[/mm]
> [mm][\alpha,\beta][/mm] ->
> [mm]\IC[/mm]
Du schreibst [mm]\gamma_{1}, \gamma_{2}[/mm] gemeint ist aber [mm]\gamma_{1}* \gamma_{2}[/mm] (ein Produkt)
> parametrisiert eine Kurve C, für die
> n(C, [mm]0)=n(C_{1}, 0)+n(c_{2},[/mm] 0) gilt.
> b) Gilt zusätzlich [mm]|\gamma_{1}(t)[/mm] -
> [mm]\gamma_{2}(t)|<|\gamma_{1}(t)|[/mm] für alle t [mm]\in [\alpha, \beta],[/mm]
> so folgt [mm]n(C_{1}, 0)=n(C_{2},[/mm] 0).
> c) Es sei nun f ein Polynom und [mm]\gamma_{1}(t)[/mm] =
> [mm]f(re^{it}),[/mm] t [mm]\in[/mm] [0, [mm]2\pi],[/mm] r > 0 die Parametrisierung von
> [mm]C_{1}.[/mm] Bestimmen Sie die Umlaufzahl [mm]n(C_{1},[/mm] 0) für große
> r.
> Die Umlaufzahl ist definiert als, n(k, [mm]z_{0}):= 1/(2i\pi) \integral_{a}{1/(z-z_{0}) dz}[/mm]
>
> Ich bin hier Leider sehr überfragt, wobei ich zu b) eine
> ähnliche Konstruktion in einem Skript gefunden habe, was
> mir aber nicht sonderlich weiterhilft, da ich a) nicht
> lösen kann und zur Lösung von b) scheinbar aus a)
> gefolgert werden soll.
> Für a) habe ich den vagen Ansatz irgendwie aus
> [mm]h(t)=1/(2i\pi) \integral_{0}^{1}{\gamma‘(s)/(\gamma(s)-z) ds}, t\in[/mm]
> [0,1]
>
> => h(0)=0 und h(1)=n(C,z)
> und [mm]h‘(t)=1/(2i\pi) \gamma(t)/(\gamma(t)-z)[/mm]
> zu
> verwenden, wobei ich diesen Ansatz aus einem Beweis
> abgeleitet habe.
> Hilft dies irgendwie weiter, also wenn man Funktionen h,
> [mm]h_{1}, h_{2}[/mm] mit den entsprechenden Kurven [mm]C_{i}[/mm]
> identifiziert und dann [mm]h_{1}[/mm] und [mm]h_{2}[/mm] einfach addiert und
> das zu zeigende damit zeigt bzw. ist dies überhaupt
> richtig?
> Ein anderer Ansatz erschließt sich mir hier leider nicht
> wirklich.
> Bei c) bin ich auch etwas überfragt, man muss denk ich
> eine Grenzwertbetrachtung durchführen und wahrscheinlich
> nach der Definition der Umlaufzahl das Integral (mit den
> Chauchy Integralsatz) lösen? Und erhält dann n? Wobei
> dies auch einfacher gesagt als getan ist, da f ja nicht
> gegeben ist.
>
> Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe
>
> Mit freundlichen grüßen
Zu a) Sei [mm] \gamma:=\gamma_1* \gamma_2. [/mm] Es ist doch [mm] n(C,0)=\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{C}^{}{1/z dz}=\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\alpha}^{\beta}{\gamma'(t)/\gamma(t) dt}
[/mm]
Jetzt Du
FRED
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zu c)
Ich bekomme da für die Umlaufzahl n heraus. Ich habe so gerechnet
$ [mm] n(C_1, [/mm] 0) = [mm] \dfrac{1}{2i\pi} \int_0^{2 \pi} \dfrac{f'(re^{it})}{f(re^{it})} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{2i\pi} 2\pi [/mm] i n = n$, aber das ist unabhängig von $ r $, also vermutlich nicht richtig, was stimmt hier nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> zu c)
>
> Ich bekomme da für die Umlaufzahl n heraus.
Was ist n ?
> Ich habe so
> gerechnet
>
> [mm]n(C_1, 0) = \dfrac{1}{2i\pi} \int_0^{2 \pi} \dfrac{f'(re^{it})}{f(re^{it})} = \dfrac{1}{2i\pi} 2\pi i n = n[/mm],
Das ist falsch. Ist Dir bekannt, wie man Kettenregel schreibt ? Es ist
[mm] $n(C_1, [/mm] 0) = [mm] \dfrac{1}{2i\pi} \int_0^{2 \pi} \dfrac{f'(re^{it})*i*re^{it}}{f(re^{it})}dt$
[/mm]
FRED
> aber das ist unabhängig von [mm]r [/mm], also vermutlich nicht
> richtig, was stimmt hier nicht?
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Es gilt:
I:
[mm] \gamma'(t)=d(gamma_{1}*\gamma_{2})/(dt)= \gamma_{1}'*\gamma_{2}+\gamma_{1}*\gamma_{2}'
[/mm]
Damit:
1/2ipi [mm] \integral_{a}^{b}{\gamma'(t)/\gamma(t) dt} [/mm] = (mit I)
1/2ipi [mm] \integral_{a}^{b}{(\gamma'(t)_{1}*\gamma'(t)_{2})/(\gamma(t)_{1}*\gamma(t)_{2}) dt} [/mm] =
1/2ipi [mm] \integral_{a}^{b}{(\gamma_{1}'*\gamma_{2}+\gamma_{1}*\gamma_{2}')/(\gamma(t)_{1}*\gamma(t)_{2}) dt} [/mm] =(Integral ausseinander ziehen und [mm] \gamma_{1} [/mm] bzw. [mm] \gamma_{2} [/mm] kürzen)
[mm] (1/2ipi)(\integral_{a}^{b}{\gamma'(t)_{1}/\gamma(t)_{1} dt}+\integral_{a}^{b}{\gamma'(t)_{2}/\gamma(t)_{2} dt})=
[/mm]
[mm] n(C_{1},0)+n(C_{2},0)
[/mm]
Stimmt das, bzw. ist das genug oder muss ich noch irgentwas zeiegn/beweisen/folgern ?
Frage:
Muss ich irgentwie die Gültigkeite von I zeigen bzw. beweisen ?
Zu b):
Ich soll ja zeigen:
[mm] n(C_{1},0)=n(C_{2},0)
[/mm]
aber dies kann doch nur gelten wenn, [mm] \gamma_{1}=-\gamma_{2}
[/mm]
aber dies folgt doch nicht aus [mm] |\gamma_{1}(t) [/mm] - [mm] \gamma_{2}(t)|<|\gamma_{1}(t)| [/mm] oder?
Es gilt:
I:
[mm] \gamma'(t)=d(gamma_{1}*\gamma_{2})/(dt)= \gamma_{1}'*\gamma_{2}+\gamma_{1}*\gamma_{2}'
[/mm]
Damit:
1/2ipi [mm] \integral_{a}^{b}{\gamma'(t)/\gamma(t) dt} [/mm] = (mit I)
1/2ipi [mm] \integral_{a}^{b}{(\gamma'(t)_{1}*\gamma'(t)_{2})/(\gamma(t)_{1}*\gamma(t)_{2}) dt} [/mm] =
1/2ipi [mm] \integral_{a}^{b}{(\gamma_{1}'*\gamma_{2}+\gamma_{1}*\gamma_{2}')/(\gamma(t)_{1}*\gamma(t)_{2}) dt} [/mm] =(Integral ausseinander ziehen und [mm] \gamma_{1} [/mm] bzw. [mm] \gamma_{2} [/mm] kürzen)
[mm] (1/2ipi)(\integral_{a}^{b}{\gamma'(t)_{1}/\gamma(t)_{1} dt}+\integral_{a}^{b}{\gamma'(t)_{2}/\gamma(t)_{2} dt})=
[/mm]
[mm] n(C_{1},0)+n(C_{2},0)
[/mm]
Stimmt das, bzw. ist das genug oder muss ich noch irgentwas zeiegn/beweisen/folgern ?
Frage:
Muss ich irgentwie die Gültigkeite von I zeigen bzw. beweisen ?
Zu b):
Ich soll ja zeigen:
[mm] n(C_{1},0)=n(C_{2},0)
[/mm]
aber dies kann doch nur gelten wenn, [mm] \gamma_{1}=-\gamma_{2}
[/mm]
aber dies folgt doch nicht aus [mm] |\gamma_{1}(t) [/mm] - [mm] \gamma_{2}(t)|<|\gamma_{1}(t)| [/mm] oder?
Muss ich hierzu irgentwie :
[mm] |\gamma_{1}(t) [/mm] - [mm] \gamma_{1}(t)|<|\gamma_{1}(t)|
[/mm]
umformen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 22.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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