Umordnung alter.harm. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme eine Ordnung der alternierenden harmonischen Reihe, die bestimmt divergiert und eine Umordnung die gegen 0 konvergiert. |
huhu Leute, das erste Mal dass ich umordne^^ Mein Ansatz hierzu wäre für divergent:
1 + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k} \over {2k+1}} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k+1} \over 2k} [/mm] ich habe die reihe so umgeordnet, dass ich das erste reihenglied vorne hinschreiben und als erstes sozusagen alle positiven zahlen summiere, da diese unendlich viele sind, ist diese reihe divergent.
für Konvergenz gegen 0:
1+ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k+1} \over 2k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k} \over {2k+1}} [/mm]
da ich unendlich viele glieder abziehe (von der 1), konvergiert diese Reihe gegen 0.
Kann man das so machen? Oder ist die Begründung Käse?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Sa 26.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine beiden Umsummierungen haben eine 1 und 2 unendliche Summen die voneinander subtrahiert werden.
bei beiden argumentierst du nur mit einer der Summen, und das auch noch falsch. wenn du von 1 nur die erste sSumme abziest, bekämst du nicht 0 sondern [mm] -\infty!
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme eine Ordnung der alternierenden harmonischen
> Reihe, die bestimmt divergiert und eine Umordnung die gegen
> 0 konvergiert.
> huhu Leute, das erste Mal dass ich umordne^^ Mein Ansatz
> hierzu wäre für divergent:
>
>
>
> 1 + [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k} \over {2k+1}}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k+1} \over 2k}[/mm] ich habe
> die reihe so umgeordnet, dass ich das erste reihenglied
> vorne hinschreiben und als erstes sozusagen alle positiven
> zahlen summiere, da diese unendlich viele sind, ist diese
> reihe divergent.
>
> für Konvergenz gegen 0:
>
> 1+ [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k+1} \over 2k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {(-1)^{2k} \over {2k+1}}[/mm]
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>
> da ich unendlich viele glieder abziehe (von der 1),
> konvergiert diese Reihe gegen 0.
>
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> Kann man das so machen? Oder ist die Begründung Käse?
Ja.
Orientiere Dich am Beweis des Riemannschen Umordnungssatzes !
FRED
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heyho,
also die Reihe sähe original ja so aus...
1 - [mm] 1\over2 [/mm] + [mm] 1\over3 [/mm] - [mm] 1\over4 [/mm] + [mm] 1\over5 [/mm] - [mm] 1\over6 [/mm] + [mm] 1\over7 [/mm] etc....
wenn ich jetzt will, dass sie konvergiert gegen 0, stell ich sie so um dass es
1 - [mm] 1\over2 [/mm] - [mm] 1\over4 [/mm] - [mm] 1\over6 [/mm] - [mm] 1\over8 [/mm] + [mm] 1\over3 [/mm] ...
sprich, dass 1 positiver wert kommt und dann 4 negative werte, dann wieder n positiver wert und dann wieder die nächsten 4 negativen etc...
bei bestimmter divergenz würd ich es so machen:
1 - [mm] 1\over2 [/mm] + [mm] 1\over3 [/mm] + [mm] 1\over5 [/mm] + [mm] 1\over7 [/mm] ....solange positive bis ich 2 erreiche, dann wieder ne negative zahl dazwischen dass es wieder unter 1/2 sinkt und dann wiederrum solange positive bis ich 3 erreiche usw....
die frage ist, selbst wenn es richtig wäre, reicht die argumentation so oder muss man formale sachen anwenden (also allgemeiner) wie
[mm] 1\over2k [/mm] oder [mm] 1\over2k-1 [/mm] sowas halt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im Prinzip ist dein Vorgehen richtig. nur musst du - mit Hilfe der Divergenz der harmonischen Reihe- zeigen, dass du immer so weiter machen kannst. im fall der divergenz also zeigen, wenn ich n erreicht habe, dann kommt ... und das geht, weil ...
entsprechend bei der konvergenz.
explizit hinschreiben musst du das nicht, nur dein Vorgehen für den nten Schritt schildern, und zeigen, dass er sicher existiert.
Gruss leduart
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