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Hallo!
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n} \* \bruch{n^{6}+n^{5}}{n^{8}+3}= \pi^{e^{2}}
[/mm]
Meine Frage: Kann man durch Umordnen dieser Reihe den vorgegebenen Wert erreichen?
Es handelt sich um eine alternierende Folge, man benützt das Leibnitzkriterium. Die Folge (ich meine den Bruch) ist offensichtlich eine Nullfolge, also ist die Reihe konvergent. Jetzt muss man nur noch prüfen, ob sie absolut konvergiert, wenn nicht, dann könnte man laut Riemann diese Reihe auf jeden Wert umordnen.
Meine Fragen: welches Kriterium benutze ich im obigen Fall für die Prüfung der absoluten Konvergenz? Eventuell Majorantenkriterium (Wurzel oder Quotientenkriterium würden ja nichts helfen)? Wie sieht dann die Abschätzung aus? (ist [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] zulässige Abschätzung nach oben?) Und kann man die Reihe schlussendlich auf den vorgegebenen Wert umordnen?
Kann man die Problematik bei Brüchen verallgemeinern: Potenz oben höher dann ist die Reihe divergent. Potenz unten niedriger so ist die Reihe konvergent, aber wie sieht es mit aboluter Konvergenz aus, das bereitet mir immer noch Kopfschmerzen.
Im Voraus: Danke für eure Hilfe,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Christian,
ich denke mal, dass du dich verschrieben hast und
[mm] $\sum_{i=1}^{n} (-1)^i \frac{i^6+i^5}{i^8+3}$ [/mm]
meinst, oder wieso gehst du davon aus, dass der Bruch eine Nullfolge (für den Index $i$ ist). So wie es im Moment geschrieben steht, ist der Bruch konstant und kann vor die Summe geschrieben werden.
Kannst du nochmal den Wert der Summe angeben, ist [mm] $\left(\pi^e\right)^2$ [/mm] oder [mm] $\pi^{\left(e^2\right)}$ [/mm] gemeint?
Gruß Brackhaus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Fr 04.03.2005 | | Autor: | MrElgusive |
Hallo!
Ja, du hast Recht, da hab ich mich verschrieben.
Der Wert ist ja eigentlich egal oder, denn wenn man weiß, das die Reihe bedingt konvergent ist, kann man ja die Reihe beliebig umordnen und jeden vorgegebenen Wert erreichen.
Den Wert will ich mir an sich nicht berechnen, mir geht es in erster Linie darum, ob diese Reihe absolut konvergent ist, wie man es prüft/abschätzt usw...
Grüße,
Christian.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Max |
Soweit ich dass sehe ist die Reihe absolut konvergent, denn
[mm] $\left|\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^i \cdot \frac{i^6+i^5}{i^8+3}\right| \le \sum_{i=1}^{\infty} \left| (-1)^i \cdot \frac{i^6+i^5}{i^8+3}\right| [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{i^6+i^5}{i^8+3} \le \sum_{i=1}^{\infty} \frac{2i^6}{i^8} [/mm] = 2 [mm] \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}=\frac{\pi}{3}$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 04.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo MrElsgusive
Ich schreibe mal die Summe so um, dass deine Frage Sinn macht:
[mm]\summe_{x=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot\bruch{x^{6}+x^{5}}{x^{8}+3}[/mm]
Wenn du den Bruch mit [mm] $x^6$ [/mm] kürzt, so erhälst du
[mm] $\summe_{x=1}^{\infty} (-1)^{n}\cdot\bruch{1+\frac1x}{x^{2}+\frac3{x^6}}$.
[/mm]
Du sieht, dass die absoluten Beträge der Summanden gegen [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] konvergieren.
Da würde ich mit dem Majorantenkriterium argumentieren. Denn für genug grosse x ist sicher
[mm] $a(x)=\frac{1+\frac1x}{x^{2}+\frac3{x^6}}<\frac1{x^{1.5}}$. [/mm] Und da die Reihe
[mm] $\sum_{x=1}^{\infty} \frac1{x^{1.5}}$ [/mm] konvergiert, konvergiert deine Reihe absolut.
mfG Moudi
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