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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 16.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo Mathe Freunde,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe unten helfen.
[mm] 1,0023^{3,7}= [/mm] 1,008536 Mit Taschenrechner
Mit Näherungsformel A-F Schritte
A. 1,0023-1= 0,0023
B. [mm] 0,0023*\left(1- \bruch{1}{2}*0,0023\right) [/mm] = 0,002297
C. 1+0,002297*3,7 = 1,008498
D. 1,008498-1=0,008498
E. [mm] 0,008498*\left(1+ \bruch{1}{2}*0,008498\right) [/mm] = 0,008534
F. 1+0,008534=1,008534 Mit Näherungsformel
Diese Näherungsformel ist dazu da da man nicht mit dem rechenstab 1,0023 schlecht einstellen, daher die Näherungsformel oben.
Diese Näherungsformel gilt für Werte 1,005, 1,008 oder 1,0025 usw.
Aber wie kann man Werte wie 3,005 , 3,008 oder z.B. 3,005 usw. rechnen.
Auch 3,005 oder 3,0023 kann ebenfalls schlecht mit dem rechenstab einstellen, gibt es eine Näherungsrechnung mit dem genauso wie oben oder anders z.B. anstatt 1,0023 mit dem Wert 3,0023 Rechnen kann.
Bin für jede Hilfr dankbar. Gruß
Gruß
2. Eine Erwartungshaltung an unsere Mitglieder ist völlig unangebracht.
Das ergibt sich schon aus der vorherigen Regel, sei hier aber nochmal erwähnt.
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> Hallo Mathe Freunde,
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> kann mir jemand bei dieser Aufgabe unten helfen.
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> [mm]1,0023^{3,7}=[/mm] 1,008536 Mit Taschenrechner
Wenn ich dies richtig verstehe, soll es darum gehen,
eine Potenz der Form [mm] (1+\varepsilon)^{a} [/mm] (mit [mm] \varepsilon<<1) [/mm] näherungsweise
zu berechnen, allerdings mit einem einfachen Taschen-
rechner ohne Tasten für Potenzen, Logarithmen etc.
Interpretiere ich das richtig ?
> Mit Näherungsformel A-F Schritte
>
> A. 1,0023-1= 0,0023
> B. [mm]0,0023*\left(1- \bruch{1}{2}*0,0023\right)[/mm] = 0,002297
>
> C. 1+0,002297*3,7 = 1,008498
> D. 1,008498-1=0,008498
(den Schritt C könnte man sich ersparen, da bei D ja
gleich wieder 1 subtrahiert wird)
> E. [mm]0,008498*\left(1+ \bruch{1}{2}*0,008498\right)[/mm] =
> 0,008534
> F. 1+0,008534=1,008534 Mit Näherungsformel
Wenn ich die Formeln für die Berechnung von [mm] (1+\varepsilon)^{a}
[/mm]
zusammenfasse, heißt dies:
[mm] D:=\varepsilon*(1-\varepsilon/2)*a
[/mm]
$\ F:=1+D*(1+D/2)$
F ist dann ein Näherungswert für die Potenz
Diese Art Näherung sehe ich hier allerdings zum ersten
Mal. Sie scheint die Exponentialfunktion durch eine
Potenzfunktion anzunähern.
> Diese Näherungsformel ist dazu da da man nicht mit dem
> rechenstab 1,0023 schlecht einstellen, daher die
> Näherungsformel oben.
Die Sache mit dem "schlecht einstellen können" gilt
natürlich ebenso für Zahlen wie 1.7352 , 5.2947 oder
sogar auch schon für 1.735 und 5.295 !
Da Werte knapp über 1 z.B. in der Zinsrechnung oft als
Basis von Potenzen vorkommen und man dabei wirklich
einige Dezimalen nach dem Komma braucht, wurden im
Zeitalter des Rechenschiebers solche Methoden wie die
vorliegende entwickelt.
Heute rechnet aber kaum mehr jemand mit dem Rechen-
schieber, und damit wurden auch derartige Methoden
für den praktischen Gebrauch obsolet.
> Diese Näherungsformel gilt für Werte 1,005, 1,008 oder
> 1,0025 usw.
> Aber wie kann man Werte wie 3,005 , 3,008 oder z.B. 3,005
> usw. rechnen.
> Auch 3,005 oder 3,0023 kann ebenfalls schlecht mit dem
> rechenstab einstellen, gibt es eine Näherungsrechnung mit
> dem genauso wie oben oder anders z.B. anstatt 1,0023 mit
> dem Wert 3,0023 Rechnen kann.
Das obige Argument mit der Zinsrechnung ist eigentlich
nur für Werte nahe bei 1 gültig. Bei Zahlen nahe bei einer
anderen ganzen Zahl brächte ein derartiges Näherungs-
verfahren kaum Vorteile !
> Bin für jede Hilfr dankbar. Gruß
> Gruß
Was du suchst, wäre also eine Näherungsformel für [mm] (n+\varepsilon)^{a}
[/mm]
Man könnte nun aufgrund der Taylorreihe der Funktion [mm] x\mapsto x^{a}
[/mm]
zwar bestimmt eine solche Formel entwickeln. Deren Nutzen
im Vergleich zum "gewöhnlichen" Gebrauch des Rechen-
schiebers hielte sich aber in sehr engen Grenzen ...
Ich gebe dir hier mal eine Näherungsformel für den Fall
n=3 an:
$\ [mm] (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}*\left(1+\frac{a}{3}*\varepsilon+\frac{a*(a-1)}{18}*\varepsilon^2\right)$
[/mm]
Der offensichtliche Nachteil: man muss die Potenz [mm] 3^{a}
[/mm]
berechnen, was mit einem ganz einfachen Rechner ohne
Potenzfunktion etc. eben gar nicht geht ...
Mit einem Rechenschieber berechnet man beliebige
Potenzen durch Anwendung der Rechenregeln für
Logarithmen. Am besten geht dies auf einem Rechen-
schieber mit zusätzlicher LogLog-Skala.
Aber eben: wer interessiert sich heute noch für die
Funktionsweise des Rechenschiebers ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 19.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo,
habe eine Frage zur meiner Näherungsformel: Durch Schritte A-F für werte in der Nähe 1 z.B. [mm] 1,0023^{3.7} [/mm] wird Näherungsweise gerechnet.
Die Formeln für die Berechnung von $ [mm] (1+\varepsilon)^{a} [/mm] $
zusammenfasse, heißt dies:
$ [mm] D=\varepsilon\cdot{}(1-\varepsilon/2)\cdot{}a [/mm] $
$ \ [mm] F=1+D\cdot{}(1+D/2) [/mm] $
F ist dann ein Näherungswert für die Potenz
Soweit habe ich verstanden mit dem Zusammengefasste Formel kann man ebenfalls werte in der Nähe 1 z.B. [mm] 1,0023^{3,7} [/mm] berechnen.
Ich habe noch eine Frage wie kann man die Zusammengefasste Formel umstellen, das damit auch werte in der Nähe 1 diesmal aber z.B. [mm] 0,9977^{3,7} [/mm] genauso angenähert rechnen kann.
Für Fälle $ [mm] (1+\varepsilon)^{a} [/mm] $: z.B. [mm] 1,0023^{3,7} [/mm] gilt die zusammengefasste Formel.
$ [mm] D=\varepsilon\cdot{}(1-\varepsilon/2)\cdot{}a [/mm] $
$ \ [mm] F=1+D\cdot{}(1+D/2) [/mm] $
Für Fälle $ [mm] (1-\varepsilon)^{a} [/mm] $: z.B. [mm] 0,9977^{3,7} [/mm] wie sieht denn die zusammengefasste Formel aus.
Zur Nächste Frage:
Für Werte die knapp unter oder über einem Wert x liegen. z.B [mm] 3,0023^{3,7} [/mm] oder [mm] 2,9977^{3,7} [/mm]
Zitat: Was du suchst, wäre also eine Näherungsformel für $ [mm] (n+\varepsilon)^{a} [/mm] $
Man könnte nun aufgrund der Taylorreihe der Funktion $ [mm] x\mapsto x^{a} [/mm] $
zwar bestimmt eine solche Formel entwickeln. Deren Nutzen
im Vergleich zum "gewöhnlichen" Gebrauch des Rechen-
schiebers hielte sich aber in sehr engen Grenzen ...
Ich gebe dir hier mal eine Näherungsformel für den Fall
n=3 an:
$ \ [mm] (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right) [/mm] $
Gilt dieser Näherungsformel für alle Fälle $ [mm] (n+\varepsilon)^{a} [/mm] $
Kann man mit dieser Formel z.B. [mm] 3,0023^{3,7} [/mm] , [mm] 5,0015^{2,3} [/mm] oder bei werten z.B. [mm] 2,9977^{3,7} [/mm] oder [mm] 4,9985^{2,3} [/mm] .
Ist dieser Formel Universell für die obigen Fälle geignet.
Was ich in dieser Formel nicht verstehe, woher die 18 kommt.
Gilt diese Formel für alle Fälle $ [mm] (n+\varepsilon)^{a} [/mm] $ wie z.B. [mm] 3,0023^{3,7} [/mm] und [mm] 5,0015^{3,7}
[/mm]
$ \ [mm] (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right) [/mm] $
Wie sieht das ganze für den Fall $ [mm] (n-\varepsilon)^{a} [/mm] $ wie z.B. [mm] 2,9977^{3,7} [/mm] oder [mm] 4,9985^{3,7}
[/mm]
$ \ [mm] (3-\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a} [/mm] * ??????? $
Vielleicht versteh ich das besser wenn du bitte die werte in die Formel einsetzt, damit ich diese Näherungsformel Universal für alle werte für die Fälle $ [mm] (n+\varepsilon)^{a} [/mm] $ oder $ [mm] (n-\varepsilon)^{a} [/mm] $ einsetzen kann.
Würde mich sehr freuen wenn du mir dabei helfen würdest. Viele Grüße
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> Hallo,
>
> habe eine Frage zur meiner Näherungsformel: Durch Schritte
> A-F für werte in der Nähe 1 z.B. [mm]1,0023^{3.7}[/mm] wird
> Näherungsweise gerechnet.
>
> Die Formeln für die Berechnung von [mm](1+\varepsilon)^{a}[/mm]
> zusammenfasse, heißt dies:
>
> [mm]D=\varepsilon\cdot{}(1-\varepsilon/2)\cdot{}a[/mm]
> [mm]\ F=1+D\cdot{}(1+D/2)[/mm]
> F ist dann ein Näherungswert für
> die Potenz
>
> Soweit habe ich verstanden mit dem Zusammengefasste Formel
> kann man ebenfalls werte in der Nähe 1 z.B. [mm]1,0023^{3,7}[/mm]
> berechnen.
> Ich habe noch eine Frage wie kann man die
> Zusammengefasste Formel umstellen, das damit auch werte in
> der Nähe 1 diesmal aber z.B. [mm]0,9977^{3,7}[/mm] genauso
> angenähert rechnen kann.
Lass doch die Formel so wie sie ist und setze [mm] \varepsilon:=-0.0023 [/mm] !
> Zur Nächste Frage:
>
> Für Werte die knapp unter oder über einem Wert x liegen.
> z.B [mm]3,0023^{3,7}[/mm] oder [mm]2,9977^{3,7}[/mm]
>
> Zitat: Was du suchst, wäre also eine Näherungsformel für
> [mm](n+\varepsilon)^{a}[/mm]
> Man könnte nun aufgrund der Taylorreihe der Funktion
> [mm]x\mapsto x^{a}[/mm]
> zwar bestimmt eine solche Formel
> entwickeln. Deren Nutzen
> im Vergleich zum "gewöhnlichen" Gebrauch des Rechen-
> schiebers hielte sich aber in sehr engen Grenzen ...
>
> Ich gebe dir hier mal eine Näherungsformel für den Fall
> n=3 an:
>
> [mm]\ (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right)[/mm]
>
> Gilt dieser Näherungsformel für alle Fälle
> [mm](n+\varepsilon)^{a}[/mm]
Nein, die ist nur speziell für n=3
> Kann man mit dieser Formel z.B.
[mm]3,0023^{3,7}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]5,0015^{2,3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]2,9977^{3,7}[/mm]
[mm]4,9985^{2,3}[/mm]
> Ist dieser Formel Universell für die obigen Fälle
> geignet.
> Was ich in dieser Formel nicht verstehe, woher die 18
> kommt.
aus der Taylorentwicklung
[mm]\ (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{162}*\varepsilon^3+\,....\,\right)[/mm]
> Gilt diese Formel für alle Fälle [mm](n+\varepsilon)^{a}[/mm] wie
> z.B. [mm]3,0023^{3,7}[/mm] und [mm]5,0015^{3,7}[/mm]
> [mm]\ (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right)[/mm]
>
> Wie sieht das ganze für den Fall [mm](n-\varepsilon)^{a}[/mm] wie
> z.B. [mm]2,9977^{3,7}[/mm] oder [mm]4,9985^{3,7}[/mm]
>
> [mm]\ (3-\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a} * ???????[/mm]
>
> Vielleicht versteh ich das besser wenn du bitte die werte
> in die Formel einsetzt, damit ich diese Näherungsformel
> Universal für alle werte für die Fälle
> [mm](n+\varepsilon)^{a}[/mm] oder [mm](n-\varepsilon)^{a}[/mm] einsetzen
> kann.
>
> Würde mich sehr freuen wenn du mir dabei helfen würdest.
> Viele Grüße
Hallo Hazelnut,
wie ich schon ausgeführt habe, macht es eigentlich nicht
wirklich Sinn, für x-Werte, die nahe bei irgendeiner ganzen
Zahl liegen, spezielle Näherungsformeln für ihre Potenzen
zu entwickeln, weil sie einfach keinen Vorteil gegenüber
anderen Rechnungswegen ergeben.
Und meine Nebenfrage: wozu würdest du solche Formeln
allenfalls brauchen ? Mit was für Rechenhilfsmitteln gehst
du normalerweise um ? Willst du allenfalls Rechenkünstler
(ohne jegliche Hilfsmittel) werden ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 19.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo,
vielen dank für deine Hilfe, aber habe noch eine Frage. Ich möchte nur lernen wie man mit Näherungsverfahren solche Fälle $ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a} [/mm] $ ohne Hilfsmittel nur mit dem rechenstab zu lösen.
Für den Fall $ [mm] (n+\varepsilon)^{a} [/mm] $ = [mm] (3+0,023)^{3,7} [/mm] = [mm] 3,0023^{3,7}
[/mm]
$ \ [mm] (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right) [/mm] $
$ \ [mm] (3,0023)^{3,7}\ \approx\ 3^{3,7}\cdot{}\left(1+\frac{3,7}{3}\cdot{}\(0,0023+\frac{3,7\cdot{}(3,7-1)}{18}\cdot{}\(0,0023^2\right) [/mm] $ [mm] \approx\ [/mm] 58,4225
TR Liefert genauso [mm] \approx\ [/mm] 58,4225
Für den Fall $ [mm] (n-\varepsilon)^{a} [/mm] $ = [mm] (3-0,023)^{3,7} [/mm] = [mm] 2,9977^{3,7}
[/mm]
$ \ [mm] (3-\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right) [/mm] $
$ \ [mm] (2,9977)^{3,7}\ \approx\ 3^{3,7}\cdot{}\left(1+\frac{3,7}{3}\cdot{}\(-0,0023+\frac{3,7\cdot{}(3,7-1)}{18}\cdot{}\(-0,0023^2\right) [/mm] $ [mm] \approx\ [/mm] 58,0923
TR Liefert genauso [mm] \approx\ [/mm] 58,092
bis hier habe ich verstanden aber aus der Taylorentwicklung, da habe ich einige probleme.
$ \ [mm] (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{162}\cdot{}\varepsilon^3+\,....\,\right) [/mm] $
oder Allgemein für alle Fälle $ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a} [/mm] $
$ \ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a}\ \approx\ n^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\cdot{}\pm \varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^3+\,....\,\right) [/mm] $
Wie kommt man überhaupt auf die 18 und 162 ist das vielleicht ne Fakultät von n
Wie kann man diese Taylor Reihe Verallgemeinern damit man alle Fälle $ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a} [/mm] $ berechnen kann.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 So 19.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> vielen dank für deine Hilfe, aber habe noch eine Frage.
> Ich möchte nur lernen wie man mit Näherungsverfahren
> solche Fälle [mm](n\pm \varepsilon)^{a}[/mm] ohne Hilfsmittel nur
> mit dem rechenstab zu lösen.
>
> Für den Fall [mm](n+\varepsilon)^{a}[/mm] = [mm](3+0,023)^{3,7}[/mm] =
> [mm]3,0023^{3,7}[/mm]
>
>
> [mm]\ (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right)[/mm]
>
> [mm]\ (3,0023)^{3,7}\ \approx\ 3^{3,7}\cdot{}\left(1+\frac{3,7}{3}\cdot{}\(0,0023+\frac{3,7\cdot{}(3,7-1)}{18}\cdot{}\(0,0023^2\right)[/mm]
> [mm]\approx\[/mm] 58,4225
>
> TR Liefert genauso [mm]\approx\[/mm] 58,4225
>
> Für den Fall [mm](n-\varepsilon)^{a}[/mm] = [mm](3-0,023)^{3,7}[/mm] =
> [mm]2,9977^{3,7}[/mm]
>
> [mm]\ (3-\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2\right)[/mm]
>
> [mm]\ (2,9977)^{3,7}\ \approx\ 3^{3,7}\cdot{}\left(1+\frac{3,7}{3}\cdot{}\(-0,0023+\frac{3,7\cdot{}(3,7-1)}{18}\cdot{}\(-0,0023^2\right)[/mm]
> [mm]\approx\[/mm] 58,0923
>
> TR Liefert genauso [mm]\approx\[/mm] 58,092
> bis hier habe ich verstanden aber aus der
> Taylorentwicklung, da habe ich einige probleme.
>
> [mm]\ (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{162}\cdot{}\varepsilon^3+\,....\,\right)[/mm]
>
> oder Allgemein für alle Fälle [mm](n\pm \varepsilon)^{a}[/mm]
>
> [mm]\ (n\pm \varepsilon)^{a}\ \approx\ n^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\cdot{}\pm \varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^3+\,....\,\right)[/mm]
>
> Wie kommt man überhaupt auf die 18 und 162 ist das
Multipliziere den vor der Klammer stehendem Faktor [mm] 3^\alpha [/mm] in die Klammer hinein und kürze in jedem Bruch Dreierpotenzen), dann siehst du die Fakultäten .
Gruß Abakus
> vielleicht ne Fakultät von n
>
> Wie kann man diese Taylor Reihe Verallgemeinern damit man
> alle Fälle [mm](n\pm \varepsilon)^{a}[/mm] berechnen kann.
>
> Viele Grüße
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:08 So 19.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Hi,
habe nicht verstanden: Multipliziere den vor der Klammer stehendem Faktor in die Klammer hinein und kürze in jedem Bruch Dreierpotenzen), dann siehst du die Fakultäten . Kannst du mir bitte dies zeigen, habe wirklich nicht verstanden was du meinst.
$ \ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a}\ \approx\ n^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\cdot{}\pm \varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^3+\,....\,\right) [/mm] $
Wie sieht den dann die allgemeine Form oben für die Fälle $ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a} [/mm] $ aus. Viele Grüße
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Ich möchte jetzt nur noch ein letztes Mal festhalten:
Wenn du mit einem Rechenstab rechnest, bist du ganz
grundsätzlich bei der Einstellung der Operanden und
beim Ablesen der Ergebnisse auf dessen Genauigkeit
von etwa einem Promille beschränkt. Ob dabei Werte
nahe bei einer ganzen Zahl liegen oder nicht, spielt
dabei keine Rolle. Demzufolge macht es im Allgemeinen
auch keinen Sinn, sich noch mit Hilfsformeln für Werte
wie 3.023 , 2.977 , 4.992 etc. herumzuschlagen, weil
man damit im Endeffekt doch keine zusätzliche Präzi-
sion erzielen kann.
Eigentlich kenne ich keinen anderen Anwendungsfall
als den von Potenzen mit (sehr exakt vorgegebener)
Basis nahe bei 1 und mit hohen Exponenten, wo diese
Spezialbehandlung wirklich nutzbringend ist.
Falls du mit einem üblichen Taschenrechner (inkl.
Potenztaste) arbeitest, werden solche Hilfsformeln
erst recht überflüssig - obwohl sie vielleicht mathe-
matisch durchaus interessant und reizvoll sind.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo,
ich möchte doch nur wissen ob man diesen Fall $ \ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a} [/mm] universal mit dieser Näherung Rechnen kann. Es ist doch uninterresant womit ich dies berechne.
$ \ [mm] (n\pm \varepsilon)^{a}\ \approx\ n^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\cdot{}\pm \varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^3+\,....\,\right) [/mm] $
Ich habe die Taylor Reihe verstanden, bis auf die Fakultäten, woher die 18 und 162 kommen, dann kann ich näherungsweise dies berechnen. Ich will dies nicht unbedingt mit einem Stab berechnen. Es geht nur darum wie man es rechnet. Gruß
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> Hallo,
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> ich möchte doch nur wissen ob man diesen Fall [mm](n\pm \varepsilon)^{a}[/mm]
> universal mit dieser Näherung Rechnen kann. Es ist doch
> uninteressant womit ich dies berechne.
>
> [mm]\ (n\pm \varepsilon)^{a}\ \approx\ n^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\cdot{}\pm \varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^3+\,....\,\right)[/mm]
>
> Ich habe die Taylor Reihe verstanden, bis auf die
> Fakultäten, woher die 18 und 162 kommen, dann kann ich
> näherungsweise dies berechnen. Ich will dies nicht
> unbedingt mit einem Stab berechnen. Es geht nur darum wie
> man es rechnet. Gruß
Also gut.
Vergiss mal das mit dem [mm] $\pm\ \varepsilon$ [/mm] und rechne in jedem
konkreten Fall entweder mit einem positiven oder
mit einem negativen Wert von [mm] \varepsilon [/mm] !
Das Taylorpolynom dritter Ordnung für die Funktion
$\ f(x)\ =\ [mm] (n+x)^{a}$ [/mm] ist:
$\ [mm] T_3(x)\ [/mm] =\ [mm] n^{a}\,*\left(\,1+\frac{a}{n}*x+\frac{a*(a-1)}{2*n^2}*x^2+\frac{a*(a-1)*(a-2)}{6*n^3}*x^3\right)$
[/mm]
Zahlenbeispiel: $\ [mm] 10.2^6\ [/mm] =\ \ ?$
n=10
x=0.2
a=6
Rechnung: $\ [mm] 10^6\ [/mm] *\ [mm] \left(1+\frac{6}{10}*0.2+\frac{6*5}{200}*0.04+\frac{6*5*4}{6000}*0.008\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] 10^6\ [/mm] *\ [mm] \left(1+0.12+0.006+0.00016\right)$
[/mm]
$\ =\ [mm] 10^6*1.12616$
[/mm]
$\ =\ 1'126'160$
(exakteres Resultat: [mm] $10.2^6\ \approx\ [/mm] 1'126'162.42$ )
also: gar nicht schlecht, sondern eher exzellent !
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
$ \ T_3(x)\ =\ n^{a}\,\cdot{}\left(\,1+\frac{a}{n}\cdot{}x+\frac{a\cdot{}(a-1)}{2\cdot{}n^2}\cdot{}x^2+\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)}{6\cdot{}n^3}\cdot{}x^3+\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)\cdot{}(a-3)}{?\cdot{}n^4}\cdot{}x^4 +\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)\cdot{}(a-3)\cdot{}(a-4)}{?\cdot{}n^5}\cdot{}x^5\right)\right)$
Habe die Reihe ein wenig erweitert, weiss aber nicht nach welcher Regel die nächsten Glieder unterm Bruchstrich gebildet werden.
Habe nur eine kitzle kleine Frage und zwar die Regel unter dem Bruch;
n wie kommt man von n auf die folgende glieder unten ?
{2\cdot{}n^2}
{6\cdot{}n^3}
{?\cdot{}n^4}
{?\cdot{}n^5}
Nach welcher regel werden die Glieder unterm Bruchstrich erweitert. dann habe ich alles verstanden.
$ \ T_3(x)\ =\ n^{a}\,\cdot{}\left(\,1+\frac{a}{n}\cdot{}x+\frac{a\cdot{}(a-1)}{2\cdot{}n^2}\cdot{}x^2+\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)}{6\cdot{}n^3}\cdot{}x^3+\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)\cdot{}(a-3)}{24\cdot{}n^4}\cdot{}x^4 +\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)\cdot{}(a-3)\cdot{}(a-4)}{120\cdot{}n^5}\cdot{}x^5\right)\right) $
Ist dies zufällig richtig ?
Nochmals Viele grüße.
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Hallo Hazelnut!
Das sieht mir sehr stark nach der ![[]](/images/popup.gif) Fakultät aus.
Das heißt: zu der Potenz [mm] $n^{\red{k}}$ [/mm] gehört der Koeffizient $k!_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Roadrunner,
nehme meine blöde Frage zurück, ich habe nicht an die Fakultät gedacht, weil es in der Formel nicht stand. vielen dank. Nun habe ich alles Verstanden.
$ \ T_3(x)\ =\ n^{a}\,\cdot{}\left(\,1+\frac{a}{1!\cdot{}n^{1}}\cdot{}x+\frac{a\cdot{}(a-1)}{2!\cdot{}n^{2}}\cdot{}x^2+\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)}{3!\cdot{}n^{3}}\cdot{}x^3+\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)\cdot{}(a-3)}{4!\cdot{}n^{4}}\cdot{}x^4 +\frac{a\cdot{}(a-1)\cdot{}(a-2)\cdot{}(a-3)\cdot{}(a-4)}{5!\cdot{}n^{5}}\cdot{}x^5\right)\right) $ usw.
Der Taylor Algorithmus funktioniert sehr genau. Nochmals vielen dank an alle. Viele Grüße
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> Hallo,
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> ich möchte doch nur wissen ob man diesen Fall $ \ [mm](n\pm \varepsilon)^{a}[/mm]
> universal mit dieser Näherung Rechnen kann. Es ist doch
> uninterresant womit ich dies berechne.
>
> [mm]\ (n\pm \varepsilon)^{a}\ \approx\ n^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{n}\cdot{}\pm \varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{?}\cdot{}\pm \varepsilon^3+\,....\,\right)[/mm]
>
> Ich habe die Taylor Reihe verstanden, bis auf die
> Fakultäten, woher die 18 und 162 kommen, dann kann ich
> näherungsweise dies berechnen. Ich will dies nicht
> unbedingt mit einem Stab berechnen. Es geht nur darum wie
> man es rechnet. Gruß
hallo,
es war ja
$ \ [mm] (3+\varepsilon)^{a}\ \approx\ 3^{a}\cdot{}\left(1+\frac{a}{3}\cdot{}\varepsilon+\frac{a\cdot{}(a-1)}{18}\cdot{}\varepsilon^2+\frac{a^2-3\,a+2}{162}\cdot{}\varepsilon^3+\,....\,\right) [/mm] $
[mm] =3^a+3^a*\frac{a}{3}*\epsilon+3^a*\frac{a*(a-1)}{18}*\epsilon^2+3^a*\frac{(a)*(a-1)*(a-2)}{162}*\epsilon^3...
[/mm]
[mm] =3^a+3^{a-1}*\frac{a}{1}*\epsilon+3^{a-2}*\frac{a*(a-1)}{2}*\epsilon^2+3^{a-3}*\frac{(a)*(a-1)*(a-2)}{6}*\epsilon^3...
[/mm]
wenn das erste glied den index 0 hätte, kommt man auf
[mm] 3^a+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3^{a-n}}{n!}*\epsilon^n*\produkt_{i=0}^{n-1}(a-i)\right)
[/mm]
und allgemein?
>
>
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Hazelnut |
Hallo an alle,
vielen dank für eure Hilfe, die taylor reihe funktioniert sehr gut und recht ziemlich genau, genau das wollte ich wissen, nochmals danke. viele Grüße
hazelnut
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