(Un-)abhängigkeit v. Zufallsv. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Di 21.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Gib ein Beispiel für 2 reelle Zufallsvariablen X,Y auf einen Ereignisrum [mm] (\Omega, [/mm] F) und 2 Wahrscheinlichkeitsmaße P,Q auf [mm] (\Omega, [/mm] F) mit folg. Eigenschaft: X,Y sind unabhängig bzgl. P, aber nicht bzgl. Q. |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen, denn mir fällt kein passendes Beispiel ein. X,Y sind reelle Zufallsvariablen, also Abb. X,Y: [mm] \Omega \to \IR
[/mm]
Wenn X,Y bzgl. P unabhängig sein müssen, dann muss doch gelten: P(X [mm] \cap [/mm] Y) = P(X) P(Y)
und bzgl. Q. : Q(X [mm] \cap [/mm] Y) [mm] \not= [/mm] Q(X) Q(Y) oder?
Wie kann ich denn so ein Beispiel finden, damit das gilt?
Danke schonmal für die Hilfe.
Viele grüße,
Moe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab mal versucht, die Aufgabe so weit ich konnte, zu lösen,aber weiß nicht genau, wie ich das P und Q und die Zufallsvariablen definieren soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. Das wäre sehr nett!
Ich hab mal so angefangen:
X,Y sind reelle Zufallsvariablen, X,Y: [mm] \Omega \to \IR, \sigma-Algebra [/mm] ist die [mm] Borel-\sigma- [/mm] Algebra. Dann hab ich für P die Gleichverteilung auf [mm] \Omega [/mm] gewählt.
Nun sollen X, Y bzgl. P unabhängig sein, d.h. doch P(X [mm] \le c_{1}, [/mm] Y [mm] \le c_{2}) [/mm] = P(X [mm] \le c_{1}) [/mm] P(Y [mm] \le c_{2})
[/mm]
P(X [mm] \le c_{1}) [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] wegen Gleichverteilung.
Analog für P(Y [mm] \le c_{2}) [/mm] = [mm] c_{2}
[/mm]
Z.Z. ist nun, dass P(X [mm] \le c_{1}, [/mm] Y [mm] \le c_{2}) [/mm] = [mm] c_{1} c_{2}
[/mm]
A:= {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : x [mm] \le c_{1}, [/mm] y [mm] \le c_{2} [/mm] }
Also:
P(X [mm] \le c_{1}, [/mm] Y [mm] \le c_{2}) [/mm] = P [mm] \circ (X,Y)^{-1} [/mm] (A) = P [mm] \circ X^{-1} \otimes
[/mm]
P [mm] \circ Y^{-1} [/mm] (A) = [mm] \integral [/mm] {dx dy [mm] \rho(x) \rho(y) 1_{A} [/mm] (x,y) } = [mm] \integral_{- \infty}^{c_{1}}{ dx} \integral_{- \infty}^{c_{2}}{dy \rho(x) \rho(y)} [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{c_{1}}{ dx \rho(x)} \integral_{- \infty}^{c_{2}}{dy \rho(y)} [/mm] = P(X [mm] \le c_{1}) [/mm] P(Y [mm] \le c_{2}) [/mm] = [mm] c_{1} c_{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Für Q weiß ich nicht, wie ich das wählen sol, damit X,Y nicht bzgl. Q unabhängig sind. Kann mir da bitte jemand weiter helfen?
Ich bin mir auch unsicher bei der Lösung für P. Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Danke und viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Also ich habe einfach ein konkretes Beispiel gesucht.
Es geht um einen 2 fachen Münzwurf
X: [mm] (x_1,x_2) \mapsto x_1
[/mm]
Y: [mm] (x_1,x_2) \mapsto x_1+x_2
[/mm]
wobei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] den ersten und den zweiten Wurf repräsentieren und es gilt (wie immer bei solchen Versuchen) die möglichen Werte sind 0 und 1 (z.B. 0=Zahl, 1=Kopf)
außerdem sei Q die Gleichverteilung
und P habe ich definiert als P(0,0)=1 und P(sonst)=0.
Also gilt für alle vier Fälle (0,0);(0,1);(1,0);(1,1) Q ist 1/4 und P ist nur für (0,0) eins.
Mit eben dieser Wahl sind X und Y bzgl P unabhängig und bzgl Q nicht
Versuch das doch mal. Also zu zeigen, dass es für Q nicht unabhängig ist, da reicht ein Gegebsp (Tip: [mm] Q(X\le0,Y\le1) [/mm] ) und zu zeigen, dass sie bzgl P unabhängig sind, da musst du das für alle [mm] c_1,c_2 [/mm] in [mm] \IR [/mm] zeigen, das macht dann 6 Fälle.
Hoffe das war nun nicht alles zu kompliziert, ich bin grad sehr müde.
Gute Nacht. Binie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Binie,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab bloß deinen Lösungsansatz nicht ganz verstanden, also wie man zeigt, dass es für P unabhängig ist udn für Q nicht.
Für Q muss doch gelten: Q(X [mm] \le c_{1}, [/mm] Y [mm] \le c_{2}) \not= [/mm] Q(X [mm] \le c_{1}) [/mm] Q(Y [mm] \le c_{2})
[/mm]
Jetzt hast du mir einen Tipp gegeben, dass ich Q(X [mm] \le [/mm] 0, Y [mm] \le [/mm] 1) betrachten soll.
Da hab ich folgendes berechnet: Q(X [mm] \le [/mm] 0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] oder? Das sind doch die Tupel, wo der erste Eintrag 0 ist oder?
Und Q(Y [mm] \le [/mm] 1) = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] (bei 3 Tupel ergibt die Summe der Einträge 1)
Dann ist Q(X [mm] \le [/mm] 0) Q(Y [mm] \le [/mm] 1) = [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
Nun hab ich Probleme bei der Berechnung von Q(X [mm] \le [/mm] 0, Y [mm] \le [/mm] 1) = Q [mm] \circ X^{-1} \otimes [/mm] Q [mm] \circ Y^{-1} [/mm] (A) mit A = { (x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : x [mm] \le [/mm] 0, y [mm] \le [/mm] 1} = [mm] \integral_{- \infty}^{0}{\rho(x) dx} \integral_{- \infty}^{1}{\rho(y) dy} [/mm]
Was ist denn hier das [mm] \rho(x) [/mm] und [mm] \rho(y). [/mm] Das ist ja die Verteilungsdichte der Gleichverteilung, und da würde bei mir auch [mm] \bruch{3}{8} [/mm] herauskommen, was ja nicht sein soll....
Ich weiß nicht, wo mein Fehler ist.
Und bei P hab ich nicht verstanden, wie du auf 6 Fälle kommst. Ich muss ja P( X [mm] \le c_{1}, [/mm] Y [mm] \le c_{2}) [/mm] berechnen. Aber was muss ich für [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] einsetzen?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter. Das wäre sehr nett.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 So 26.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Zunächst mal glaube ich zu sehen wo dein Denkfehler liegt. Ich gehe doch vom 2 fachen Münzwurf aus und das ist ein DISKRETER Fall (da gilt immer (als Beispiel) [mm] Q(X\le1)=Q(X=0)+Q(X=1) [/mm] also auf unseren Fall übertragen und mal ganz lapidar und schlecht mathematisch formuliert: Q((0,0);(0,1))=Q(0,0)+Q(0,1). Du hast versucht mit dem Integral was zu basteln, das benutzt man aber nur im STETIGEN Fall (da darf man eben nicht addieren und muss mit der Verteilung hantieren).
Zurück zur Aufgabe [mm] Q(X\le0,Y\le1): [/mm] nun, das in der Klammer heißt doch dass die Tupel zum einen an der ersten Stelle die 0 haben müssen und außerdem darf die Summe beider Einträge nur 0 und 1 sein (weil Komma steht doch für den Schnitt der beiden Mengen) das sind dann also die Tupel (0,0);(0,1). Jede der Wahrscheinlichkeiten ist [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und zusammen ergibt sich [mm] \bruch{2}{4} [/mm] also [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Und klar ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ja nicht [mm] \bruch{3}{8} [/mm] also keine Unabhängigkeit.
So und beim anderen Teil musst du meiner Meinung nach [mm] c_1,c_2 [/mm] folgendermaßen wählen:
0 und 0; 0 und 1; 0 und 2; 1 und 0; 1 und 1; 1 und 2;
weil X kann die Werte 0 und 1 annehmen und Y die Werte 0, 1 und 2 (ist ja die Summe) und in allen sechs Fällen komme ich auf Unabhängigkeit.
Dabei muss ich sagen, dass ich die Wahrscheinlichkeit von [mm] P(X\le c_1,Y\le c_2) [/mm] immer so berechnet habe wie oben, also ich habe mir die Tupel gesucht die in dem Schnitt liegen und deren einzelne Wahrscheinlichkeit addiert (was ziemlich leicht ist bei P weil ja alles null ist außer der (0,0)).
Hoffe du kommst damit weiter, falls nicht (oder falls du einen Fehler findest) schreib einfach nochmal.
Liebe Grüße Binie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 So 26.11.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Binie,
ist echt total nett, dass du mir hilfst, vielen Dank! Ich tu mich leider so schwer in Stochastik....
Ich hab nicht ganz verstanden wie man das für P berechnet.
P(X [mm] \le [/mm] 0, Y [mm] \le [/mm] 1) = 1 oder? Hab auch für die restlichen 5 Fälle 1 heraus bekommen kann das sein?
Nun ich aber eine Frage, wie ich z.B. P(X [mm] \le [/mm] 0) * P(Y [mm] \le [/mm] 1) berechnen kann. Wie kann ich denn hier die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen?
Denn ich muss ja überprüfen, ob P(X [mm] \le [/mm] 0, Y [mm] \le [/mm] 1) = P(X [mm] \le [/mm] 0) * P(Y [mm] \le [/mm] 1)
Für P(X [mm] \le [/mm] 0) kommen ja die Tupel (0,0) und (0,1) in Frage. Aber was ist von P(X [mm] \le [/mm] 0) die Wahrscheinlichkeit? Hier ist es ja nicht die Gleichverteilung....
Ich hoffe, du hilfst mir weiter.
Danke dir vielmals,
VG Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 26.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
Zuerst mal habe ich auch in allen 6 Fällen [mm] P(X\le c_1,Y\le c_2) [/mm] eins raus, soweit also super (du bist ja schon fast fertig, los gehts zum Endspurt  )
Nun noch kurz zu [mm] P(X\le 0)*P(Y\le [/mm] 1): Wie im vorherigen Beitrag gesagt handelt es sich um ein diskretes Beispiel also gilt auch hier, dass man addieren darf, also [mm] P(X\le 0)*P(Y\le [/mm] 1) = P((0,0);(0,1))*P((0,0);(0,1);(1,0)) = [P(0,0)+P(0,1)]*[P(0,0)+P(0,1)+P(1,0)] und das haben wir doch bereits definiert als P(0,0) = 1 und P(sonst) = 0 also kommt hier 1 raus (zum Glück, so war das ja auch geplant )
So, nun also in allen Fällen nach diesem Schema und dann hast dus hinter dir
Bei weiteren Fragen schreib einfach.
Liebe Grüße Binie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Fr 24.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> Wie kann ich denn so ein Beispiel finden, damit das gilt?
Es gibt ja schon eine Antwort.
Nur noch mal eine passende Idee dazu: ein Maß, das nur die Werte 1 und 0 annimmt, also bei der ein Ergebnis sicher ist, für das sind je zwei ZV stochastisch unabhängig. Wenn man sich das überlegt hat - dann braucht man blos ein Bsp. für nicht unabh. ZV zu finden. 
SEcki
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