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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 31.01.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo, es geht um folgende Aufgabenstellung:
Die Zufallsvariablen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] sind unabhängig und haben beide die gleiche Verteilung.
[mm] P(X_k=0)=0,2 [/mm] , [mm] P(X_k=1)=0,5, P(X_k=2)=0,3 [/mm] für k=1,2
Berechnen sie folgende Größen:
a) [mm] EX_k, E(X_k)^{2} [/mm] und [mm] Var(X_k)
[/mm]
b) Die gemeinsame Verteilung von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2
[/mm]
c) [mm] P(X_2=1/X_1=0), P(X_1+X_2=2) [/mm] und [mm] P(X_1 [/mm] * [mm] X_2=2)
[/mm]
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Wer kann kontrollieren, ob meine bisherigen Lösungen stimmen, und mir bei den noch offenen Teilaufgaben behilflich sein?
zu a)
[mm] EX_k=\summe_{xi=0}^{n}xi*P(X_k=xi)
[/mm]
=0*0,2+1*0,5+2*0,3
=1,1
[mm] E(X_k)^{2}=\summe_{xi=0}^{n}xi^{2}*P(X_k=xi)
[/mm]
[mm] =0^{2}*0,2+1^{2}*0,5+2^{2}*0,3
[/mm]
=1,7
[mm] Var(X_k)=\summe_{xi=0}^{n}(xi-EX_k)^{2}*P(X=xi)
[/mm]
[mm] =\summe_{xi=0}^{n}(xi^{2}*P(X_k=xi))-(EX_k)^{2}
[/mm]
[mm] =(0^{2}*0,2 [/mm] + [mm] 1^{2}*0,5+2^{2}*0,3)-(1,1)^{2}
[/mm]
=(0,5+1,2)-1,21
= 0,49
zu b)
Stimmt es, dass hier die sog. Randverteilungen ermittelt werden müssen (wenn ja wie schreibt man das formal korrekt auf?)
Aufgrund der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen gilt dann doch auch: z.B. [mm] P(X_1=0,X_2=1)=P(X_1=0)*P(X_2=1)
[/mm]
Also müsste man doch folgendes berechnen:
[mm] P(X_1=0)=P(X_1=0,X_2=0)+P(X_1=0,X_1)+P(X_1=0,X_2=2)
[/mm]
=(0,2*0,2)+(0,2*0,5)+(0,2*0,3)=0,2
[mm] +P(X_1=1)=...
[/mm]
[mm] +P(X_1=2)=...
[/mm]
[mm] P(X_2=0)=...
[/mm]
[mm] P(X_2=1)...
[/mm]
[mm] P)X_2=2)=...
[/mm]
zu c)
[mm] P(X_2=1/X_1=0)=P(X_2=0)+P(X_2=1)-P(X_1=0)=0,2+0,5-0,2=0,5
[/mm]
(Ich bin mir nicht sicher, ob der Lösungsweg stimmt)
[mm] P(X_1+X_2=2)=P(X_1=0,X_2=2)+P(X_1=1,X_2=1)+P(X_1=2,X_2=0)
[/mm]
=(0,2*0,3)+(0,5*0,5)+)0,3*0,2)
=0,06+0,25+0,06=0,37
[mm] P(X_1*X_2=2)=P(X_1=1,X_2=2)+P(X_1=2,X_2=1)
[/mm]
=(0,5*0,3)+(0,3*0,5)=0,3
Gruß, Ralf
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Sa 31.01.2009 | | Autor: | vivo |
> Hallo, es geht um folgende Aufgabenstellung:
> Die Zufallsvariablen [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] sind unabhängig und haben
> beide die gleiche Verteilung.
> [mm]P(X_k=0)=0,2[/mm] , [mm]P(X_k=1)=0,5, P(X_k=2)=0,3[/mm] für k=1,2
> Berechnen sie folgende Größen:
> a) [mm]EX_k, E(X_k)^{2}[/mm] und [mm]Var(X_k)[/mm]
> b) Die gemeinsame Verteilung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm]
> c) [mm]P(X_2=1/X_1=0), P(X_1+X_2=2)[/mm] und [mm]P(X_1[/mm] * [mm]X_2=2)[/mm]
>
> Wer kann kontrollieren, ob meine bisherigen Lösungen
> stimmen, und mir bei den noch offenen Teilaufgaben
> behilflich sein?
>
> zu a)
> [mm]EX_k=\summe_{xi=0}^{n}xi*P(X_k=xi)[/mm]
> =0*0,2+1*0,5+2*0,3
> =1,1
>
stimmt
> [mm]E(X_k)^{2}=\summe_{xi=0}^{n}xi^{2}*P(X_k=xi)[/mm]
> [mm]=0^{2}*0,2+1^{2}*0,5+2^{2}*0,3[/mm]
> =1,7
>
stimmt
> [mm]Var(X_k)=\summe_{xi=0}^{n}(xi-EX_k)^{2}*P(X=xi)[/mm]
> [mm]=\summe_{xi=0}^{n}(xi^{2}*P(X_k=xi))-(EX_k)^{2}[/mm]
> [mm]=(0^{2}*0,2[/mm] + [mm]1^{2}*0,5+2^{2}*0,3)-(1,1)^{2}[/mm]
> =(0,5+1,2)-1,21
> = 0,49
>
stimmt
> zu b)
> Stimmt es, dass hier die sog. Randverteilungen ermittelt
> werden müssen (wenn ja wie schreibt man das formal korrekt
> auf?)
> Aufgrund der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen gilt dann
> doch auch: z.B. [mm]P(X_1=0,X_2=1)=P(X_1=0)*P(X_2=1)[/mm]
>
ja die gemeinsame Verteilung ist doch da die ZV unabhängig sind einfach für jede situation nur Wkeit der eine mal die Wkeit der anderen
> Also müsste man doch folgendes berechnen:
> [mm]P(X_1=0)=P(X_1=0,X_2=0)+P(X_1=0,X_1)+P(X_1=0,X_2=2)[/mm]
> =(0,2*0,2)+(0,2*0,5)+(0,2*0,3)=0,2
> [mm]+P(X_1=1)=...[/mm]
> [mm]+P(X_1=2)=...[/mm]
>
> [mm]P(X_2=0)=...[/mm]
> [mm]P(X_2=1)...[/mm]
> [mm]P)X_2=2)=...[/mm]
>
> zu c)
> [mm]P(X_2=1/X_1=0)=P(X_2=0)+P(X_2=1)-P(X_1=0)=0,2+0,5-0,2=0,5[/mm]
> (Ich bin mir nicht sicher, ob der Lösungsweg stimmt)
>
Hier: [mm] P(X_2=1|X_1=0) [/mm] = [mm] \bruch{P(X_2=1 \cap X_1=0)}{P(X_1=0)}
[/mm]
> [mm]P(X_1+X_2=2)=P(X_1=0,X_2=2)+P(X_1=1,X_2=1)+P(X_1=2,X_2=0)[/mm]
> =(0,2*0,3)+(0,5*0,5)+)0,3*0,2)
> =0,06+0,25+0,06=0,37
>
stimmt
> [mm]P(X_1*X_2=2)=P(X_1=1,X_2=2)+P(X_1=2,X_2=1)[/mm]
> =(0,5*0,3)+(0,3*0,5)=0,3
>
stimmt
> Gruß, Ralf
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 31.01.2009 | | Autor: | RalU |
Vielen Dankf für die Hilfe!
Bei der Teilaufgabe b) ist mir noch nicht klar geworden, wie man das am besten formal aufschreibt. Bei meinem Ansatz für b) hab ich ja nur W'keiten ausgerechnet. Eine gemeinsame Verteilung ist aber doch nicht nur eine W'keit, bzw. mehrere W'keiten, oder?
Gruß, Ralf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Sa 31.01.2009 | | Autor: | vivo |
na die gemeinsame verteilung ist halt:
[mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})[/mm]
und da die ZV's unabhängig sind folgt:
[mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})=P(X=x)*P(Y=y) [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 So 01.02.2009 | | Autor: | RalU |
> na die gemeinsame verteilung ist halt:
>
> [mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})[/mm]
>
> und da die ZV's unabhängig sind folgt:
>
> [mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})=P(X=x)*P(Y=y)[/mm]
>
Und das ist dann:
[mm] P_{XY}(x,y)
[/mm]
=P(X=x)*P(Y=y)
=((P(X=0)*P(Y=0))+(P(X=1)*P(Y=1))+(P(X=2)*P(Y=2)))
=((0.2*0.2)+(0,5*0,5)+(0,3*0,3))
=0,38
richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 01.02.2009 | | Autor: | vivo |
> > na die gemeinsame verteilung ist halt:
> >
> > [mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})[/mm]
> >
> > und da die ZV's unabhängig sind folgt:
> >
> > [mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})=P(X=x)*P(Y=y)[/mm]
> >
> Und das ist dann:
>
> [mm]P_{XY}(x,y)[/mm]
> =P(X=x)*P(Y=y)
> =((P(X=0)*P(Y=0))+(P(X=1)*P(Y=1))+(P(X=2)*P(Y=2)))
> =((0.2*0.2)+(0,5*0,5)+(0,3*0,3))
> =0,38
>
> richtig?
>
>
nein! da wird nichts addiert! dass bedeutet nur die W.keit, dass die ZV X den Wert x und die ZV Y den Wert y annihmt, ist da die ZV's unabhängig sind gegeben durch, P(X=x)*P(Y=y)
zum Beispiel
[mm]P_{XY}(1,1)=P(\{X=1,Y=1\})=P(X=1)P(Y=1)=0,5^2[/mm]
ich denke die Antwort auf die Teilaufgabe ist einfach nur:
[mm]P_{XY}(x,y)=P(\{X=x,Y=y\})=P(X=x)P(Y=y)[/mm]
man soll eben zeigen, dass man erkannt hat, dass aufgrund der unabhänigigkeit der ZV's die gemeinsame Verteilung aus dem Produkt errechnet wird.
gruß
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