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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Do 03.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Es sei auf [mm] \Omega [/mm] = {1,2,3,4} ein Laplace Experiment gegeben. ( [mm] \Omega, 2^{\Omega}, [/mm] P) bezeichnet dabei den zugehörigen Wahrscheinlichketsraum. Betrachte die Zufallsvariablen:
[mm] X_1= \mathds{1}_{ \{1\} } +\mathds{1}_{\{2\}}, X_2= \mathds{1}_{\{1\}}+\mathds{1}_{\{3\}}, X_3=\mathds{1}_{\{1\}}+\mathds{1}_{\{4\}}
[/mm]
Um die Indizes sollten jeweils noch Mengenklammern...
(Edit Marcel: Ich habe das mal editiert! Bitte nochmal prüfen (durch Anklicken
der Formeln siehst Du, wie das geschrieben werden kann... Backslash vor
die Klammern setzen!))
[mm] \mathds{1}_{\{j\}} (\omega) [/mm] bezeichne die Indikatorfunktion.
a) Welche Verteilung haben [mm] X_1, X_2, X_3
[/mm]
b) Sind [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] stochastisch unabhängig?
c) Sind [mm] X_1, X_2 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] stochastisch unabhängig? |
Hallo,
ich komme mit obiger Aufgabe nicht ganz zurecht.
Also zu a)
[mm] X_1 [/mm] = 2, wenn [mm] \omega_1 [/mm] = 1, [mm] \omega_2 [/mm] =1. Wkt: 1/4
[mm] X_1 [/mm] = 1, wenn [mm] \omega_1=1, \omega_2=0 [/mm] bzw. umgekehrt. Wkt: 1/2
[mm] X_1 [/mm] = 0, wenn [mm] \omega_1 [/mm] =0, [mm] \omega_2 [/mm] =0. Wkt: 1/4
Und für die anderen ganz analog.
Zu b) Es muss ja gelten P( [mm] \{ X_1 \} \cap \{ X_2 \} [/mm] ) = P( [mm] \{ X_1 \} [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] P( [mm] \{ X_2 \} [/mm] ). Ich kann das aber leider nicht hierauf anwenden...
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Hiho,
meine Güte schreibst du viel Blödsinn..... aber das bekommen wir hoffentlich in den Griff....
> Also zu a)
> [mm]X_1[/mm] = 2, wenn [mm]\omega_1[/mm] = 1, [mm]\omega_2[/mm] =1. Wkt: 1/4
Was sollen [mm] \omega_1 [/mm] und [mm] \omega_2 [/mm] sein? Wieso ist das beides gleich?
Insbesondere gilt nie [mm] $X_1 [/mm] = 2$!
Aber mal langsam:
Schreiben wir das mal sauber auf:
[mm] $X_1(\omega) [/mm] = [mm] 1_{\{1\}}(\omega) [/mm] + [mm] 1_{\{2\}}(\omega)$
[/mm]
Nun gilt ja: [mm] $\omega \in \{1,2,3,4\}$, [/mm] was ist jetzt also:
[mm] $X_1(1),X_1(2),X_1(3),X_1(4)$?
[/mm]
Wie du siehst steckt da immer nur ein Omega drin, du hast ja keinen Zufallsvektor!
> Zu b) Es muss ja gelten P( [mm]\{ X_1 \} \cap \{ X_2 \}[/mm] ) = P(
> [mm]\{ X_1 \}[/mm] ) [mm]\cdot[/mm] P( [mm]\{ X_2 \}[/mm] ).
Aus man. Was mißt man mit einem Maß? Mengen! Aus? Hier: [mm] $2^\Omega$ [/mm] Was soll denn [mm] $\{ X_1 \}$ [/mm] für eine Menge sein? Das wäre die Menge, die [mm] X_1 [/mm] enthält und die liegt ganz bestimmt nicht in [mm] $2^\Omega$.
[/mm]
Schlage noch mal nach, wie man Unabhängigkeit von Zufallsvariablen misst.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 04.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
[mm] X_1(1)= [/mm] 1
[mm] X_1(2)=1
[/mm]
[mm] X_1(3)=X_1(4)=0
[/mm]
[mm] X_2(1)=1
[/mm]
[mm] X_2(2)=0
[/mm]
[mm] X_2(3)=1
[/mm]
[mm] X_2(4)=0
[/mm]
[mm] X_3(1)=1
[/mm]
[mm] X_3(2)=X_3(3)=0
[/mm]
[mm] X_3(4)=1
[/mm]
Also P( { [mm] X_1=1 [/mm] } )=1/2=P( { [mm] X_1=0 [/mm] } )
P( { [mm] X_2=1 [/mm] } ) =1/2 = P( { [mm] X_2=0 [/mm] })
Also P( { [mm] X_1=1 [/mm] } ) * P( { [mm] X_2=1 [/mm] } ) =1/2 * 1/2 =1/4
P( { [mm] X_1=1 [/mm] } [mm] \cap [/mm] { [mm] X_2=1 [/mm] } ) =1/4, dies gilt auch für die anderen drei Fälle [mm] (X_1=0 [/mm] , [mm] X_2=1 [/mm] etc)
also sind [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] stochastisch unabhängig.
Aber [mm] X_1 [/mm] , [mm] X_2 [/mm] und [mm] X_3 [/mm] sind nicht stochastisch unabhängig, weil:
P( { [mm] X_1 [/mm] = 1 }) P( { [mm] X_2 [/mm] = 1 }) P( { [mm] X_3 [/mm] = 1 }) =1/8, aber P( { [mm] X_1 [/mm] = 1 } [mm] \cap [/mm] ( { [mm] X_2 [/mm] = 1 } [mm] \cap [/mm] { [mm] X_3 [/mm] = 1 }) =1/4
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Hiho,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono.
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