Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | Definition:
A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] heißen unabhängig, falls P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)P(B), wobei [mm] \mathcal{A} [/mm] Sigma-Algebra ist.
Korollar:
A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] unabhängig, dann gilt
1. [mm] A^{c} [/mm] unabhängig von B
2. A unabhängig von [mm] B^{c} [/mm]
3. [mm] A^{c} [/mm] unabhängig von [mm] B^{c} [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe steht leider unbewiesen im Skript, dort wird zwar auf die Übung verwiesen, aber ich habe das Gefühl, dass wir das dort nicht beweisen werden, deswegen auf dem Weg.
die Aussage 2. ist ja dann klar, wenn man die Aussage 1. bewiesen hat,
bei dieser habe ich mir Fallunterscheidungen überlegt
[mm] P(A^{c}\cap [/mm] B)= [mm] P((X\A)\cap [/mm] B)= [mm] P(B\A)
[/mm]
Fall 1: A [mm] \subseteq [/mm] B
Da P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A) folgt ja dann, dass P(B)=1 ist
also ist dann
[mm] P(A^{c}\cap [/mm] B)= [mm] P((X\A)\cap [/mm] B)= [mm] P(B\A)=P(B)-P(A)=1-P(A)= P(A^{c})=P(A^{c})*1=P(A^{c})*P(B)
[/mm]
Fall 2: [mm] A\cap [/mm] B= [mm] \emptyset
[/mm]
dann ist ja [mm] P(A\cap [/mm] B)= 0
[mm] P(A^{c}\cap [/mm] B)= P(B)=P(B)-0= P(B)-P(A [mm] \cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)(1-P(X)+P(A^{c}))=P(B)P(A^{c})
[/mm]
bei den anderen Fällen komme ich aber nicht weiter, gibt es einen einfacheren Weg das zu zeigen?
die Aussage 2. folgt ja aus der ersten Aussage
bei der dritten Aussage komme ich gar nicht zurecht, ich dachte erst es würde helfen wenn ich De morgan anwende aber ich komme dann auch nicht weiter
Wäre nett wenn mir einer helfen könnte
miau
Katze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 02.05.2012 | | Autor: | wieschoo |
für die erste Teilaufgabe hilft vermutlich
[mm]P(B)=P(A\cap B)+P(A\cap B^C) [/mm]
2. folgt direkt aus 1.
edit: sehe grad, dass ne richtige Antwort kommt. War schneller 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Mi 02.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Mach dir einer Wahrscheinlichkeitstabelle der folgenden Form und trage
die fehlenden Werte ein:
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline & A & \overline{A} & \sum\\ \hline B&pq & & q \\ \overline{B} & & &1-q \\ \hline \sum &p &1-p &\\ \hline \end{tabular} [/mm] $
Dabei ist $p=P(A)$ und $q=P(B)$. Dann brauchst auch nicht die Klimmzuege der Fallunterscheidungen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Dankeschön für die Antworten :)
ich bin mir nicht ganz so sicher, ob ich die Tabelle so richtig verstehe, aber ich würde sie so ausfüllen:
$ [mm] \begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline & A & \overline{A} & \sum\\ \hline B&pq & q(1-p) & q \\ \overline{B} &p(1-q) &1-q-p+qp &1-q \\ \hline \sum &p &1-p &\\ \hline \end{tabular} [/mm] $
okay, dann wäre das relativ einfach dann stimmt für alles die bedingungen
[mm] P(A\cap [/mm] B)= P(A)P(B)
[mm] P(A^{c} \cap [/mm] B) = [mm] q(1-p)=P(B)P(A^{c})
[/mm]
[mm] P(A\cap B^{c})= p(1-q)=P(A)P(B^{c})
[/mm]
[mm] P(A^{c}\cap B^{c})=1-q-p+qp=(1-q)(1-p)=P(A^{c})P(B^{c})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mi 02.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Katze,
> ich bin mir nicht ganz so sicher, ob ich die Tabelle so
> richtig verstehe, aber ich würde sie so ausfüllen:
>
> [mm]\begin{tabular} {@{}cccc@{}} \hline & A & \overline{A} & \sum\\ \hline B&pq & q(1-p) & q \\ \overline{B} &p(1-q) &1-q-p\red-qp &1-q \\ \hline \sum &p &1-p &\\ \hline \end{tabular}[/mm]
>
> ist das richtig?
Abgesehen davon, dass das rot markierte Minus ein Plus sein müsste: Ja!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Katze_91 |
Ja, ist mir auch noch aufgefallen, als ich versucht habe es zu faktorisieren :)
Vielen Dank!
LG
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