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| Aufgabe | Zwei reelle ZVen seien auf [mm] \IN_0 [/mm] konzentriert, also [mm] P_{X_{1}}(\IN_0) [/mm] = 1 = [mm] P_{X_2}(\IN_0).
[/mm]
Z.z.: [mm] X_1, X_2 [/mm] unabhängig [mm] \gdw P[X_1 [/mm] = i, [mm] X_2 [/mm] = j] = [mm] P[X_1 [/mm] = i] * [mm] P[X_2 [/mm] = j], i, j [mm] \in \IN_0 [/mm] |
Die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist mit der Definition der Unabhängigkeit trivial, aber ich bin mir bei der Rückrichtung nicht ganz sicher. Wir haben im Skript 1-2 Beweise derselben Form geführt, wo die eine Richtung auch trivial war und wir die Rückrichtung nur für Mengen einer bestimmten Form gegeben war, z.B. [mm] (\infty, [/mm] x]
Anschließend haben wir die allgemeine Gleichheit aus dem Fortsetzungssatz für endliche Maße gefolgert. Wie geht das aber in diesem Fall? Die Einpunktmengen erzeugen im Gegensatz zu den halboffenen Intervallen von oben nunmal nicht die Borel-Algebra, also kann ich diesen Satz gar nicht anwenden oder genügt es zu zeigen, dass beide Seiten für i,j [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IN_0 [/mm] 0 sind und die Gleichheit daher auch allgemein gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Fr 10.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> Anschließend haben wir die allgemeine Gleichheit aus dem
> Fortsetzungssatz für endliche Maße gefolgert. Wie geht
> das aber in diesem Fall? Die Einpunktmengen erzeugen im
> Gegensatz zu den halboffenen Intervallen von oben nunmal
> nicht die Borel-Algebra, also kann ich diesen Satz gar
> nicht anwenden oder genügt es zu zeigen, dass beide Seiten
> für i,j [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IN_0[/mm] 0 sind und die Gleichheit daher
> auch allgemein gilt?
So aenlich denke ich schon - du hast jedenfalls Gleichheit auf der von [m]\IN[/m] erzeugten Subsigmalagebra vermittels dieses Satzes. Dann muss man es wohl entsprechend fortsetzen.
SEcki
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Ok und die Fortsetzung von der Subsigma-Algebra auf [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] folgt direkt oder muss ich dazu noch was zeigen?
Was ist denn wenn ich zeige, dass [mm] P[X_1 [/mm] = i, [mm] X_2 [/mm] = j] = 0 = [mm] P[X_1 [/mm] = i] * [mm] P[X_2 [/mm] = j] für alle i, j [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IN
[/mm]
Habe ich mit der Voraussetzung, dass die Beziehung auch für alle i, j [mm] \in \IN [/mm] gilt, nicht gezeigt, dass sie auch auf [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] gilt?
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Hiho,
es gilt doch:
[mm] $\IP(X_1 \le c_1, X_2 \le c_2) [/mm] = [mm] \summe_{\substack{i,j \in \IN_0 \\ i \le c_1, j \le c_2}} \IP(X_1 [/mm] = i, [mm] X_2 [/mm] = j) = [mm] \summe_{\substack{i,j \in \IN_0 \\ i \le c_1, j \le c_2}} \IP(X_1 [/mm] = i) * [mm] \IP(X_2 [/mm] = j)$
$ = [mm] \summe_{\substack{i \in \IN_0 \\ i \le c_1}} \IP(X_1 [/mm] = i) * [mm] \summe_{\substack{j \in \IN_0 \\ j \le c_2}} \IP(X_2 [/mm] = j) = [mm] \IP(X_1 \le c_1) [/mm] * [mm] \IP(X_2 \le c_2)$
[/mm]
Und damit sind [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unabhängig.
Begründe jedes Gleichheitszeichen und du hast die Rückrichtung.
MFG,
Gono.
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Besten Dank mal wieder :)
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