Unabhänigkeit beliebiger Ereig < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Zeige für zwei beliebige Ereignisse A und B die folgenden Äquivalenzen:
A und B unabhängig [mm] \gdw [/mm] A und [mm] \overline{B} [/mm] unabhänigig
[mm] \gdw \overline{A} [/mm] und [mm] \overline{B} [/mm] unabhänigig
[mm] \gdw \overline{A} [/mm] und B unabhänigig. |
Hallo!
Für konkrete A und B wäre ich die Berechnung ja einfach.
Wie sieht es aber mit allgemeinen Aussagen aus? Ich finde da keinen rechten Ansatz.
Kann ich dafür P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) * P(B) nutzen?
Danke!
Ich habe die Frage nirgendwo anders gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Fr 12.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Kommt auf den Beweisteil dieser Äquivalenz an, ob du das nutzen darfst!
Ausgehend von der Unabhängigkeit von $U$ und $V$ folgt:
Es ist $U = [mm] (U\cap V)\cup (U\cap \overline{V})$ [/mm] und beide Klammerausdrücke sind disjunkt. Also gilt $P(U) = [mm] P(U\cap V)+P(U\cap \overline{V})$, [/mm] was zusammen mit [mm] $P(U\cap [/mm] V)=P(U)P(V)$ dann [mm] $P(U\cap \overline{V})=P(U)-P(U)P(V) [/mm] = P(U)(1-P(V))$ ergibt. Andererseits ist [mm] $P(\overline{V})=1-P(V)$. [/mm] Demnach ist [mm] $P(U\cap \overline{V}) [/mm] = [mm] P(U)P(\overline{V})$, [/mm] was äquivalent zur Unabhängigkeit von $U$ und [mm] $\overline{V}$ [/mm] ist.
P.S.: Ich habe bewusst $U,V$ statt $A,B$ geschrieben, denn mit dieser gerade bewiesenen Implikation
$$ [mm] U,V\;\mbox{unabhängig} \qquad\Longrightarrow\qquad U,\overline{V}\;\mbox{unabhängig}$$
[/mm]
lässt sich die obige Äquivalenz durch Einsetzen bestimmter $U,V$ locker nachweisen.
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