Unbestimmte Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 19.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo alle zusammen!
Könnte mir jemand erklären, was genau unbestimmte Integrale sind?
Ich dachte immer, das wären Integrale, die keine Grenzen haben.
In meiner Formelsammlung steht allerdings, dass unbestimmte Integrale schon Grenzen haben, allerdings ist die obere Grenze variabel.
Nun weiß ich nicht genau was stimmt...
Danke schonmal.
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 19.03.2006 | | Autor: | Sancho |
Hallo Pacapear
meines wissens sind unbestimmte integrale ohne grenzen, alos
[mm] \int f(x) dx = F(x) \qquad \mbox{,mit} \ F'(x) = f(x) [/mm]
aber vielleicht meinst du uneigentliche Integrale, sowas wie z.b
[mm] \int_a^{b+\epsilon} f(x)dx [/mm]
Gruß Sancho
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Nadine!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Nadine: wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
Diese "Antwort" war leider 100%-ig an Deiner Frage vorbei ...
Unter uneigentlichen Integralen versteht man Integrale, deren Grenzen nicht einen konkreten Wert aufweisen, oder dessen Grenze(n) nicht im Definitionsbereich der zu integrierenden Funktion enthalten sind.
Beispiele hier wären zum Beispiel als Grenze der "Wert" $\infty$ oder z.B. das Integral $\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} \ dx}$.
Auch hier handelt es sich um ein unbestimmtes Integral, da der Wert $x_0 \ = \ 0$ nicht im Definitionsbereich der Funktion enthalten ist.
Zur Berechnung wählt man sich dann einne beliebige Variable als entsprechende Grenze und führt dann eine Grenzwertbetrachtung gegen die vorgegebene Grenze aus.
Beispiel: $\integral_{-\infty}^{0}{e^x \ dx} \ = \ \limes_{u\rightarrow-\infty}\integral_{u}^{0}{e^x} \ dx} \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 So 19.03.2006 | | Autor: | t.sbial |
Was Loddar hier beschrieben hat sind uneigentliche Integrale und haben mit dem unbestimmten Integral nichts zu tun. Aber die Erklärung war 1A;). Wenn mans genau nimmt dann ist das unbestimmte Integral kein Integral im Riemannschen Sinne. Es ist die schreibweise für die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f. Wenn man es noch präziser haben möchte dann ist eine Äquivalenzklasse von Funktionen.
Gruß
T.Sbial
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 19.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Loddar,
die Integrale / Beispiele, die du aufgeführt hast, habe ich in Schule und Uni als uneigentliche Integrale kennengelernt.
So steht es auch in meinem Mathebuch:
Uneigentiche Integrale werden durch Grenzwerte erklärt.
Diese werden dann noch in zwei Kategorien unterteilt:
1. Unendliches Integrationsintervall
Dazu zählen die Integrale mit einer oder zwei unendlichen Grenzen.
Diese ersetzt man man man durch durch eine Variable und führt nach Berechnung des Integrals den Grenzwertübergang durch.
2. Integrand mit Pol
Dazu gehören dann glaube ich so Sachen wie [mm] \integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{x} dx}
[/mm]
Aber das löst leider immer noch nicht mein Problem...
LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 19.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine,
> Hallo Loddar,
> [...]
> Aber das löst leider immer noch nicht mein Problem...
was ist denn dein Problem? Was ein unbestimmtes Integral ist hat Sancho ja schon geschrieben. (Eine google-Suche nach ''unbestimmtes integral'' liefert uebrigens auch recht viele Informationen  )
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 19.03.2006 | | Autor: | t.sbial |
Bitte beachtet meine Mitteilung ich meins doch nur gut):
Also dein Vorschlag mit Integral ohne Grenzen ist ja im Prinzip richtig.
Unter dem unbestimmten Integral
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm] versteht man sozusagen eine Stammfunktion
F(x) addiert mit beliebiger Konstante c. D.h.
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=F(x)+c [/mm] ,c in R
z.B
[mm] \integral_{}^{}{cos(x) dx}=sin(x)+c
[/mm]
Ich hoffe man beachtet mich jetzt;)
Gruß
T.Sbial
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo T.Sbial!
Entschuldige, dass ich deine erste Mitteilung nicht gesehen habe.
Als ich meine Antwort zu Loddars Beitrag geschrieben habe, war deine Mitteilung noch nicht da...
Also nicht denke, deine Beiträge werden nicht beachtet, dem ist nicht so
Also vielen Dank für deine Antwort.
Wenn man ein Integral ohne Grenzen ausrechnet, muss man doch immer ein $c$ mit dazuaddieren, oder?
Warum ist dann mein Vorschlag mit dem Integral ohne Grenzen nur im Prinzip richtig?
Du hast ja gesagt, dass ein unbestimmtes Integral eine Stammfunktion ist, wo man noch ein $c$ hinzuaddiert, um alle Stammfunktionen zu f(x) zu erfassen.
Das macht man ja, wenn man ein Integral ohne Grenzen berechnet...
Deshalb warum nur im Prinzip?
Aber ich versteh auch die Definition des unbestimmten Integrals in meinem Buch nicht.
Da steht folgendes:
Das unbestimmte Integral I(x)= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] beschreibt den Flächeninhalt A zwischen der stetigen Kurve $y=f(t)$ und der t-Achse im Intervall a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] x in Abhängigkeit von der oberen (variabel gehaltenen) Grenze x und wird daher als Flächenfunktion bezeichnet.
Aber ein Flächeninhalt wird doch bei dem Integral mit Grenzen beschrieben, weil ich dann den Flächeninhalt als Zahl erhalte.
Das ist doch dann aber das bestimmte Integral, oder?
Und in dem Buch sind beim unbestimmten Integral jetzt ja auch doch noch Grenzen vorhanden.
Das verwirrt mich jetzt voll... ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Wär echt super nett, wenn ihr mir nochmal helfen könnet.
Danke!
LG, Nadine
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Hallo,
also ich persönliche finde diese Definition extrem seltsam, aber ich versuche Sie mal zu erklären/deuten.
Also das unbestimmte Integral kann man sich ja auch im Prinzip als "Makro" vorstellen, das einem ermöglicht nur einmal die allgemeine Form des Flächeninhaltes eines Teiles einer Funktion anzugeben und das dann immer wieder verwenden, wenn man den speziellen Flächeninhalt braucht (das ist jetzt aber extrem _grob_).
Nehmen wir an, für alle t aus dem Definitionsbereich würde gelten [mm] $t\ge [/mm] a$, dann liefert das angegebene $I(x)$ im Prinzip das gewünschte. Nämlich mittels $I(x)-I(y)$ hat man den Flächeninhalt unter der Kurve von $x$ bis $y$. Damit hat man ja auch das geforderte.
--
Gruß
Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 20.03.2006 | | Autor: | t.sbial |
Freut mich:)
Also zu folgendem:
> Warum ist dann mein Vorschlag mit dem Integral ohne Grenzen
> nur im Prinzip richtig?
.
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> Deshalb warum nur im Prinzip?
Dieses Im Prinzip meint das es natürlich keine saubere Definition ist einfach zu sagen es handelt sich beim unbestimmten Integral um ein Integral ohne Grenzen. Wie gesagt ist es ja eigentlich eine Äquivalenzklasse von Funktionen. Und zwar wie folgt:
Wir suchen [mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}. [/mm]
Seien F und [mm] \overline{F} [/mm] zwei Stammfunktionen von f. Dann gilt:
[mm] F\sim\overline{F} \gdw F-\overline{F}=const. [/mm]
Dies ist die gemeinte Äquivalenzrelation,wie man leicht verifiziert.
Dann ist,
[mm] \integral_{}^{}{f(x) dx}=[f(x)]/\sim
[/mm]
Darum dieses nur im Prinzip.
Nun zu der Definition aus deinem Buch. Wie ja jetzt bereits mehrfach erwähnt wurde sind Stammfunktionen eindeutig bis auf eine additive Konstante c. Darum braucht man also nur eine einzige zu konstruieren und hat dadurch bereits alle. Und das was dein Buch da als unbestimmtes Integral definiert hat ist genau diese Eine Stammfunktion. Man bezeichnet sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Stammfunktion. Das bedeutet für
F(x)= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}, [/mm] gilt F'(x)=f(x).
Beachte das diese Funktion vom oberen Ende des Integrationsintervalls abhängt. D.h. man kann jede Stammfuntion von f mit Hilfe von diesem F konstruieren.
Machen wir mal ein Bsp:
[mm] \integral_{}^{}{x dx} [/mm] ist gesucht.
Wir wissen also:
F(x)= [mm] \integral_{a}^{x}{t dt} [/mm] und wählen uns a=0. (Jede andere Zahl wäre auch möglich.)
Also F(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{t dt} [/mm] und fangen jetzt an das für einzelne Werte zu bestimmen
F(0)=0
F(1)= [mm] \integral_{0}^{1}{t dt}=0.5*1*1 [/mm] (einfach Zeichnen und Flächeninhalt vom Dreick berechnen.)
F(2)= [mm] \integral_{0}^{2}{t dt}=0.5*2*2 [/mm] usw.
Durch dieses Verfahren bekommt man also für eine beliebige Funktion f die Stammfunktion. Also Dein Buch hat kein bestimmtes Integral zur Definition herangezogen sondern diese eine spezielle Stammfunktion und nennt es halt I(x) statt F(x) wie ich. Aber das unbestimmte Integral merkt man sich als Integral ohne Grenzen!
Gruß
T.Sbial
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