Unbestimmte Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Janina22 |
Guten Abend euch allen!!
Diesmal geht es bei mir um "unbestimmte Integrale" die wir letzte Woche eingeführt haben und unser Prof darüber gesprochen hat. Leider (wie so oft) verstehe ich nicht viel davon, zumindest anfangs. Das liegt (wie so immer) daran, dass in der Vorlesung so gut wie keine Beispiele gerechnet werden. Und wenn dann sehen sie "trivial" aus. Aber hier habe ich bei 3 große Probleme.
Hier sind sie:
Berechne die unbestimmten Integrale:
1. [mm] \integral_{}^{} {\bruch{x}{\wurzel{x-2}} dx}
[/mm]
2. [mm] \integral_{}^{} [/mm] {cos^3x dx}
3. [mm] \integral_{}^{} {\bruch{dx}{(2-sinx)(3-sinx)}}
[/mm]
Vielen Dank für das Lesen schon!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Abend auch Dir ...
> Berechne die unbestimmten Integrale:
>
> 1. [mm]\integral_{}^{} {\bruch{x}{\wurzel{x-2}} dx}[/mm]
Hier wenden wir das Verfahren der Subsitution an, und zwar ...
$z \ := \ x-2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = \ z+2$
$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ 1$ $dx \ = \ dz$
Dies' setzen wir nun ein in unser Integral:
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{z+2}{\wurzel{z}} dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{z}{\wurzel{z}} + \bruch {2}{\wurzel{z}} dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\wurzel{z} + \bruch {2}{\wurzel{z}} dz}$
[/mm]
Kannst Du nun die Stammfunktion bestimmen?
> 2. [mm]\integral_{}^{} {cos^3x dx}[/mm]
[mm]\integral_{}^{} {\cos^3(x) \ dx} \ = \ \integral_{}^{} {\cos(x) * \cos^2(x) \ dx}[/mm]
Hier wenden wir zunächst das Verfahren der partiellen Integration an. Dabei entsteht ein Integral, das wir dann z.B. mit der Substitution $z \ := \ [mm] \sin(x)$ [/mm] lösen können ...
[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {u'*v \ dx} \ = \ u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u*v' \ dx}$
$u' \ := \ [mm] \cos(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u \ = \ [mm] \sin(x)$
[/mm]
$v \ = \ [mm] \cos^2(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] 2*\cos(x)*[-\sin(x)] [/mm] \ = \ [mm] -2*\cos(x)*\sin(x)$
[/mm]
Reichen Dir diese Hinweise erstmal aus? Sonst melde Dich nochmal ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo Loddar,
danke für die Tipps. Ich habe versucht so weiter zu machen.
Zu 1:
\ [mm] \integral_{}^{} {\wurzel{z} + \bruch {2}{\wurzel{z}} dz}
[/mm]
[mm] =1+\bruch{2}{1}=3
[/mm]
z' ist wie du geschrieben hast 1 und die Wurzel davon ja auch. Deshalb 2+1.
Zu 2:
Was mir hier nicht klar ist wie du auf die Ableitung v' von v kommst.
Die Ableitung von [mm] cos^2(x) [/mm] ist ja [mm] -4cos^2(x).
[/mm]
Ich habe jetzt mal die Werte in die Gleichung eingesetzt die du angegeben hast. Also:
$ [mm] \integral_{}^{} {u'\cdot{}v \ dx} [/mm] \ = \ [mm] u\cdot{}v [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {u\cdot{}v' \ dx} [/mm] $
[mm] =sin(x)*cos^2(x) [/mm] - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {sin(x)-2cos(x)sin(x)dx}
[mm] =sin(x)*cos^2(x)-[- \bruch{1}{2}cos*sin^2*x^4]
[/mm]
[mm] =sin(x)*(cos^2(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*cos*sin(x)*x^4)
[/mm]
Ist das so richtig eingesetzt und ausgerechnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo,
danke nochmal für die Hilfe.
Aber es war eigentlich ja mein Fehler. Ich habe ja anstatt die Stammfunktion von z die Ableitung z' genommen.
Also ist ja die Ableitung wie du schreibst
$ \ [mm] \bruch{2}{3}\cdot{}\wurzel{(x-2)^3} [/mm] + [mm] 4\cdot{}\wurzel{x-2} [/mm] \ + \ C $
Danke!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 01.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Janina!
> Also ist ja die Ableitung wie du schreibst
> [mm]\ \bruch{2}{3}\cdot{}\wurzel{(x-2)^3} + 4\cdot{}\wurzel{x-2} \ + \ C[/mm]
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Hierbei handelt es sich um eine Stammfunktion, nicht um die Ableitung unserer Ausgangsfunktion!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo,
ja Ableitung ist es nicht. Habe ich jetzt im Laufe vom Überlegen verwechselt. Also ich meine dass das das unbestimme Integral ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo,
vielen Dank dir nochmal vielmals!
Also ich habe das Integral:
$ = \ [mm] \sin(x)\cdot{}\cos^2(x) [/mm] + [mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\sin^2(x)\cdot{}\cos(x) \ dx} [/mm] $
Hier ersetze ich sozusagen sin(x) durch z im Integral. Richtig?
Dann habe ich:
[mm] sin(x)*cos^2(x) [/mm] + 2* [cos(x)+z*sin(x)]
= [mm] sin(x)*cos^2(x) [/mm] + 2*cos(x)+2*z*sin(x)
Jetzt wieder z := [mm] sin^2(x)
[/mm]
= [mm] sin(x)*cos^2(x) [/mm] + [mm] 2*cos(x)+2*sin^3(x)
[/mm]
ich bin mir mit der Stammfunktion vom Integral unsicher, also ich weiß nicht ob ich deinen Tipp richtig umgesetzt habe.
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Hallo,
> [mm]= \ \sin(x)\cdot{}\cos^2(x) + 2\cdot{}\integral_{}^{}{\sin^2(x)\cdot{}\cos(x) \ dx}[/mm]
>
> [mm]sin(x)*cos^2(x)[/mm] + 2* [cos(x)+z*sin(x)]
> = [mm]sin(x)*cos^2(x)[/mm] + 2*cos(x)+2*z*sin(x)
> Jetzt wieder z := [mm]sin^2(x)[/mm]
> = [mm]sin(x)*cos^2(x)[/mm] + [mm]2*cos(x)+2*sin^3(x)[/mm]
das stimmt so nicht:
Bei der Ersetzung ist folgendes zu beachten:
[mm]
\begin{gathered}
z\; = \;\sin \;x \hfill \\
dz\; = \;\cos \;x\;dx \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hiermit folgt dann:
[mm]\int {\sin ^{2} \;x\;\cos \;x\;dx\; = \;\int {z^{2} \;dz} } [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Danke für den Hinweis. Ich mache echt ...Fehler....
Dann habe ich nun:
$ [mm] \int {\sin ^{2} \;x\;\cos \;x\;dx\; = \;\int {z^{2} \;dz} } [/mm] $
Mir macht jetzt die Form der Stammfunktion Probleme.
Stammfunktion von [mm] z^2 [/mm] ist [mm] \bruch{1}{3}x^3.
[/mm]
Aber was passiert mit dz ?
Es ja nicht
[mm] sin(x)+cos^2(x)+2* [\bruch{1}{3}z^3*dz] [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 So 01.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Janina!
> [mm]\int {\sin ^{2} \;x\;\cos \;x\;dx\; = \;\int {z^{2} \;dz} }[/mm]
>
> Mir macht jetzt die Form der Stammfunktion Probleme.
> Stammfunktion von [mm]z^2[/mm] ist [mm]\bruch{1}{3}x^3[/mm].
Tippfehler! Es muß heißen: [mm]\bruch{1}{3}\red{z}^3[/mm]
> Aber was passiert mit dz ?
> Es ja nicht [mm]sin(x)+cos^2(x)+2* [\bruch{1}{3}z^3*dz][/mm]
Das $dz$ verschwindet doch durchs Integrieren!
Es verbleibt also:
[mm]\sin(x)\red{*}\cos^2(x)+2*\bruch{1}{3}z^3[/mm]
Nun für $z$ wieder resubstituieren: $z \ = \ [mm] \sin(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo Loddar,
das ist mir jetzt echt peinlich. Nicht nur, dass ich einige Sachen durcheinander bringe... heute kann ich nicht einmal richtig abschreiben. Das ist wirklich..ich weiß nicht.
Nun haben wir
$ [mm] \sin(x)\red{\cdot{}}\cos^2(x)+2\cdot{}\bruch{1}{3}z^3 [/mm] $
Jetzt das Resubstituieren:
[mm] sin(x)*cos^2(x)+\bruch{2}{3}*sin^3(x)
[/mm]
Somit ist es das unbestimmte Integral für die Aufgabe 2...
Jetzt hoffe ich, dass ich mich hier nicht nochmal vertan habe...
Vielen vielen vielen Dank dir auch!!!!
Schönen Abend noch und viel Spass!
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Hallo,
> 3. [mm]\integral_{}^{} {\bruch{dx}{(2-sinx)(3-sinx)}}[/mm]
dieses Integral ist nicht so einfach zu berechnen.
Hier hilft folgende Substitution weiter:
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;2\;\arctan \;t \hfill \\
dx\; = \;\frac{2}
{{1\; + \;t^ {2} }}\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann gilt:
[mm]\begin{gathered}
\sin \;x\; = \;\frac{{2t}}
{{1\; + \;t^{2} }} \hfill \\
2\; - \;\sin \;x\; = \;2\; - \;\frac{{2t}}
{{1\; + \;t^{2} }}\, = \;\frac{{2t^{2} \; - \;2t\; + \;2}}
{{1\; + \;t^{2} }} \hfill \\
3\; - \;\sin \;x\; = \;3\; - \;\frac{{2t}}
{{1\; + \;t^{2} }}\; = \;\frac{{3t^{2} \; - \;2t\; + \;3}}
{{1\; + \;t^{2} }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Mit dieser Substitution wird dann aus dem Integral folgendes:
[mm]
\begin{gathered}
\int {\frac{1}
{{\left( {2\; - \;\sin \;x} \right)\;\left( {3\; - \;\sin \;x} \right)}}} \;dx \hfill \\
= \;\int {\frac{{2\;\left( {1\; + \;t^{2} } \right)}}
{{\left( {2t^{2} \; - \;2t\; + \;2} \right)\;\left( {3t^{2} \; - \;2t\; + \;3} \right)}}} \;dt \hfill \\
= \;\int {\;\frac{{A\;t\; + \;B}}
{{2t^{2} \; - \;2t\; + \;2}}} \; + \;\frac{{C\;t\; + \;D}}
{{3t^{2} \; - \;2t\; + \;3}}\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die Koeffizienten A,B,C,D findest Du durch Koeffizientenvergleich:
[mm]\frac{{2\;\left( {1\; + \;t^{2} } \right)}}
{{\left( {2t^{2} \; - \;2t\; + \;2} \right)\;\left( {3t^{2} \; - \;2t\; + \;3} \right)}}\; = \;\frac{{A\;t\; + \;B}}
{{2t^{2} \; - \;2t\; + \;2}}\; + \;\frac{{C\;t\; + \;D}}
{{3t^{2} \; - \;2t\; + \;3}}[/mm]
Danach kannst Du das wie gewohnt integrieren.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ich würde vor der Partialbruchzerlegung noch mit 2 kürzen
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo,
danke für deine Mühe!
Das sieht echt kompliziert aus.
Ich weiß zwar was mit Koeffizientenvergleich gemeint ist, aber ich blicke da nicht durch.
Ich habe spontan
A=2t
B=2
C=0
D=0
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Hallo,
> Das sieht echt kompliziert aus.
>
> Ich weiß zwar was mit Koeffizientenvergleich gemeint ist,
> aber ich blicke da nicht durch.
>
[mm]
\frac{{\left( {1\; + \;t^{2} } \right)}}
{{\left( {t^{2} \; - \;t\; + \;1} \right)\;\left( {3t^{2} \; - \;2t\; + \;3} \right)}}\; = \;\frac{{A\;t\; + \;B}}
{{t^{2} \; - \;t\; + \;1}}\; + \;\frac{{C\;t\; + \;D}}
{{3t^{2} \; - \;2t\; + \;3}}[/mm]
Nach einer Multiplikation mit [mm]
{\left( {t^2 \; - \;t\; + \;1} \right)\;\left( {3t^2 \; - \;2t\; + \;3} \right)}
[/mm] ergibt sich:
[mm]1\; + \;t^{2} \; = \;\left( {A\;t\; + \;B} \right)\;\left( {3t^{2} \; - \;2t\; + \;3} \right)\; + \;\left( {C\;t\; + \;D} \right)\;\left( {t^{2} \; - \;t\; + \;1} \right)[/mm]
Nun multiplizierst Du die rechte Seite aus:
[mm]
1\; + \;t^{2} \; = \;\left( {3A\; + \;C} \right)\;t^{3} \; + \;\left( {3B\; - \;2A\; + \;D\; - \;C} \right)\;t^{2} \; + \;\left( {3A\; - \;2B\; + \;C\; - \;D} \right)\;t\; + \;\left( {3B\; + \;D} \right)[/mm]
Damit das erfüllt wird, muß gelten:
[mm]
\begin{gathered}
3A\; + \;C\; = \;0 \hfill \\
3B\; - \;2A\; + \;D\; - \;C\; = \;1 \hfill \\
3A\; - \;2B\; + \;C\; - \;D\; = \;0 \hfill \\
3B\; + \;D\; = \;1 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Dieses Gleichungssystem muß dann noch gelöst werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Ich habe die erste Zeile mit -1 multipliziert und zur 3. addiert, also:
-(1)+(3) --> -2B-D zur 4. Zeile addiert --> B=1
(2)+(3) --> A=0
-->C=0
aus (4): D=-2
Ich hoffe so ist es jetzt richtig. Dann kann ich ja zu rechnen versuchen.
Danke dir auch!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 01.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Janina!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Diese Werte für $A$, $B$, $C$ und $D$ habe ich auch erhalten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:38 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
das ist mal toll, dass ich die Koeffizienten wenigstens hinbekommen habe...
$ = \;\int {\;\frac{{A\;t\; + \;B}} {{2t^{2} \; - \;2t\; + \;2}}} \; + \;\frac{{C\;t\; + \;D}} {{3t^{2} \; - \;2t\; + \;3}}\;dt \hfill \\ \end{gathered} $
= \integral_{}^{} {\bruch{1}{2t^2-2t+2}+\bruch{-2}{3t^2-2t+3} dt}
Kann man das irgendwie vereinfachen oder muss ich direkt die Stammfunktion bestimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Janina!
Ich weiß nicht, ob das für Euch zulässig ist ...
Aber meine Formelsammlung sagt mir:
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{ax^2 + bx+c} dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{4ac-b^2}} [/mm] * [mm] \arctan\left(\bruch{2ax+b}{\wurzel{4ac-b^2}}\right) [/mm] \ , \ [mm] \text{f"ur} [/mm] \ 4ac \ > \ [mm] b^2$
[/mm]
bzw.
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{ax^2 + bx+c} dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{b^2-4ac}} [/mm] * [mm] \ln\left|\bruch{2ax+b-\wurzel{b^2-4ac}} {2ax+b+\wurzel{b^2-4ac}} \right| [/mm] \ , \ [mm] \text{f"ur} [/mm] \ 4ac \ < \ [mm] b^2$
[/mm]
Die Herleitung dafür muß ich Dir jetzt leider schuldig bleiben ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
> Hallo Janina!
>
>
> Ich weiß nicht, ob das für Euch zulässig ist ...
>
> Aber meine Formelsammlung sagt mir:
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{ax^2 + bx+c} dx} \ = \ \bruch{2}{\wurzel{4ac-b^2}} * \arctan\left(\bruch{2ax+b}{\wurzel{4ac-b^2}}\right) \ , \ \text{f"ur} \ 4ac \ > \ b^2[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{ax^2 + bx+c} dx} \ = \ \bruch{1}{\wurzel{b^2-4ac}} * \ln\left|\bruch{2ax+b-\wurzel{b^2-4ac}} {2ax+b+\wurzel{b^2-4ac}} \right| \ , \ \text{f"ur} \ 4ac \ < \ b^2[/mm]
>
>
> Die Herleitung dafür muß ich Dir jetzt leider schuldig
> bleiben ...
sieht sehr nach quadratischer Ergänzung des Nenners aus und anschließend Substitution. Aber das jetzt genauer hinzufummeln, habe ich auch keinen Bock - sorry.
> Gruß
> Loddar
>
..da schließ ich mich doch an!
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo,
die Formeln sehen "krass" aus. Wir haben mit arctan gerechnet, aber wegen der Form werde ich mal nachschauen müssen.
Wir haben nun
$ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{ax^2 + bx+c} dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{4ac-b^2}} \cdot{} \arctan\left(\bruch{2ax+b}{\wurzel{4ac-b^2}}\right) [/mm] \ , \ [mm] \text{f"ur} [/mm] \ 4ac \ > \ [mm] b^2 [/mm] $
= [mm] \bruch{2}{\wurzel{16-(-2)^2}}*arctan(\bruch{4x-2}{\wurzel{12}})
[/mm]
Und für 4ac < [mm] b^2 [/mm] analog.
Gilt die Formel nur wenn der Zähler 1 ist? Weil beim 2. Summanden hat man ja [mm] \bruch{-2}{3t^2-2t+3}.
[/mm]
Ich gehe jetzt aber schlafen und wünsche dir und allen anderen eine Gute Nacht noch.
Vielleicht steh ich morgen mit Blitzideen auf...
Und danke!
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 10:37 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Guten Tag,
ups ja die Konstante vorziehen. Vielleicht lag es an der Müdigkeit (hoffe ich mal).
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{-2}{3t^2-2t+3}}dt\;=\;-2\integral_{}^{}{\bruch{1}{3t^2-2t+3}}dt [/mm] $
[mm] =-2*\bruch{2}{\wurzel{4ac-b^2}}*arctan\bruch{2ax+b}{\wurzel{4ac-b^2}}
[/mm]
[mm] =-2*\bruch{2}{\wurzel{4*3*3-(-2^2)}}*arctan\bruch{2*3x-2}{\wurzel{4*3*3-(-2^2)}}
[/mm]
Für ac > [mm] b^2 [/mm] habe ich nun:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{16-(-2)^2}}\cdot{}arctan(\bruch{4x-2}{\wurzel{12}})+(-2*\bruch{2}{\wurzel{4*3*3-(-2^2)}}*arctan\bruch{2*3x-2}{\wurzel{4*3*3-(-2^2)}})
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{\wurzel{12}}\cdot{}arctan(\bruch{4x-2}{\wurzel{12}})+\bruch{-1}{\wurzel{32}}*arctan\bruch{6x-2}{\wurzel{32}}
[/mm]
Und für [mm] b^2 [/mm] > ac kann man das analog machen, also einfach die Variablen a,b,c einsetzen usw...
Richtig?
Schönen Tag euch noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mo 02.05.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo Janina,
> Für ac > [mm]b^2[/mm] habe ich nun:
>
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{16-(-2)^2}}\cdot{}arctan(\bruch{4x-2}{\wurzel{12}})+(-2*\bruch{2}{\wurzel{4*3*3-(-2^2)}}*arctan\bruch{2*3x-2}{\wurzel{4*3*3-(-2^2)}})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{\wurzel{12}}\cdot{}arctan(\bruch{4x-2}{\wurzel{12}})+\bruch{-1}{\wurzel{32}}*arctan\bruch{6x-2}{\wurzel{32}}[/mm]
>
Da lässt doch noch so einiges kürzen, und bei dem zweiten Summanden ist Dir wohl ein kleiner Schreibfehler passier.
[mm]=\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\arctan(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}})-\bruch{1}{\wurzel{8}}*\arctan\bruch{3x-1}{\wurzel{8}}[/mm]
> Und für [mm]b^2[/mm] > ac kann man das analog machen, also einfach
> die Variablen a,b,c einsetzen usw...
> Richtig?
Da lautet die Stammfunktion artanh (area tangens hyberbolicus).
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
ich brauche genau diese Formel. Meinst du, dass die Formel für [mm] b^2 [/mm] > ac genau die gleiche ist wie für [mm] ac>b^2, [/mm] nur dass da anstatt arctan, artanh genommen wird ? Also:
für [mm] ac>b^2
[/mm]
$ [mm] =\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\arctan(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}})-\bruch{1}{\wurzel{8}}\cdot{}\arctan\bruch{3x-1}{\wurzel{8}} [/mm] $
für [mm] ac
$ [mm] =\bruch{1}{\wurzel{3}}\cdot{}\artanh(\bruch{2x-1}{\wurzel{3}})-\bruch{1}{\wurzel{8}}\cdot{}\artanh\bruch{3x-1}{\wurzel{8}} [/mm] $
Danke!
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Hallo Prinzessin83,
> ich brauche genau diese Formel. Meinst du, dass die Formel
> für [mm]b^2[/mm] > ac genau die gleiche ist wie für [mm]ac>b^2,[/mm] nur dass
> da anstatt arctan, artanh genommen wird ? Also:
für [mm]4ac\; - \;b^{2} \; > \;0[/mm] gilt:
[mm]\int {\frac{{dx}}{{ax^{2} \; + \;bx\; + \;c}}\quad = \;\frac{2}{{\sqrt {4ac\; - \;b^{2} } }}\;\arctan } \left( {\frac{{2ax\; + \;b}}{{\sqrt {4ac\; - \;b^{2} } }}} \right)[/mm]
für [mm]4ac\; - \;b^{2} \; < \;0[/mm] gilt:
[mm]\int {\frac{{dx}}{{ax^{2} \; + \;bx\; + \;c}}\quad = \; - \frac{2}{{\sqrt {b^{2} \; - \;4ac} }}\;{\mathop{\rm ar}\nolimits} \tanh } \left( {\frac{{2ax\; + \;b}}{{\sqrt {b^{2} \; - \;4ac} }}} \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Hi,
wo liegt denn genau dein Problem?
Einfach nur beim Rechnen oder kannst du mit unbestimmten Integralen nichts anfangen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 So 01.05.2005 | | Autor: | Janina22 |
Hallo,
beim Rechnen habe ich kein Problem eigentlich, vorausgesetzt ich komme zum "Ausrechnen". Viel mehr wie ich "substituiere", also ich habe da noch nicht viel Übung und habe mit solchen Aufgaben Probleme...
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Potenzregel![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
...
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
Loddar
)
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