Unbestimmtes Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 So 21.02.2010 | | Autor: | fred937 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Integral (parielle Integration):
[mm] \integral_{}^{}{arctan x dx} [/mm] |
Hi und danke für das Interesse,
Kann ich den arctan irgendwie aufspalten so wie das bei cos/sin geht?
Ich weiß nicht wie ich da herangehen soll....
Die Lösung ist: x arctan x [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ln [mm] (1+x^{2})+C
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo fred937,
> Lösen Sie das Integral (parielle Integration):
> [mm]\integral_{}^{}{arctan x dx}[/mm]
> Hi und danke für das
> Interesse,
>
> Kann ich den arctan irgendwie aufspalten so wie das bei
> cos/sin geht?
Das ist derselbe "Trick", der auch für das Integral [mm] $\int{\ln(x) \ dx}$ [/mm] funktioniert.
Schreibe [mm] $\int{\arctan(x) \ dx}=\int{\red{1}\cdot{}\arctan(x) \ dx}$ [/mm] und setze $u'(x)=1$ und [mm] $v(x)=\arctan(x)$
[/mm]
Dann ist mit p.I.: [mm] $\int{u'(x)\cdot{}v(x) \ dx}=u(x)\cdot{}v(x)-\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}$
[/mm]
Um im weiteren das durch die p.I. entstehende Integral [mm] $\int{u(x)\cdot{}v'(x) \ dx}$ [/mm] zu lösen, ist eine kleine Substitution angesagt.
(Oder du erinnerst dich an die logarithmischen Integrale, also diejenigen der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$ [/mm] - die haben eine stadtbekannte Stfk.)
> Ich weiß nicht wie ich da herangehen soll....
> Die Lösung ist: x arctan x [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] ln [mm](1+x^{2})+C[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 So 21.02.2010 | | Autor: | fred937 |
Vielen Dank,
mit der Substitution hats geklappt. [mm] (t=1+x^{2})
[/mm]
Aber den anderen Weg hab ich jetzt nicht gefunden, scheint nicht meine Stadt zu sein.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vielen Dank,
>
> mit der Substitution hats geklappt. [mm](t=1+x^{2})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber den anderen Weg hab ich jetzt nicht gefunden, scheint
> nicht meine Stadt zu sein. 
Nun, das Integral [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$ [/mm] lässt sich über die Substitution $t=t(x):=f(x)$ lösen zu [mm] $\ln(|f(x)|)$
[/mm]
Damit hast du eine allgemeine Formel
Du hast im hinteren Integral nach der p.I. stehen: [mm] $-\int{\frac{x}{x^2+1} \dx}$
[/mm]
Das kannst du etwas umformen zu [mm] $-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2x}{x^2+1} \ dx}$
[/mm]
Nun hast du genau die Ableitung des Nenners im Zähler und kannst mit dem allg. Wissen über diese Art von Integralen direkt sagen, dass eine Stfk.
[mm] $-\frac{1}{2}\cdot{}\ln(|x^2+1|)+C=-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$ [/mm] ist.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred937 |
Ah ja, vielen Dank nochmal.
|
|
|
|
