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| Aufgabe | Berechnen Sie das unbestimme Integral
[mm] \integral_{}^{}{(sin\wurzel{x} * cos\wurzel{x})/\wurzel{x} dx} [/mm] |
Hallo meine Frage ist:
Ich habe mir gedacht da [mm] \limes_{n\rightarrow\null} [/mm] Sin x / x gleich mit L'H gelöst werden kann = 1 könnte man doch hier den Grenzwertbilden und in auf [mm] sin\wurzel{x} [/mm] / [mm] \wurzel{x} [/mm] anwenden, damit würde sich alles vereinfachen. Ist das erlaubt den Grenzwert einfach so in das Integral reinzu ziehen und dann nur auf einen Teil der Funktion "los zu lassen"?
Ansonsten müsste ich dort wohl mit Partieller Integration ran nehm ich jetzt mal an..
Gruß Kris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie das unbestimme Integral
> [mm]\integral_{}^{}{(sin\wurzel{x} * cos\wurzel{x})/\wurzel{x} dx}[/mm]
>
> Hallo meine Frage ist:
> Ich habe mir gedacht da [mm]\limes_{n\rightarrow\null}[/mm] Sin x /
> x gleich mit L'H gelöst werden kann = 1 könnte man doch
> hier den Grenzwertbilden und in auf [mm]sin\wurzel{x}[/mm] /
> [mm]\wurzel{x}[/mm] anwenden, damit würde sich alles vereinfachen.
> Ist das erlaubt den Grenzwert einfach so in das Integral
> reinzu ziehen und dann nur auf einen Teil der Funktion "los
> zu lassen"?
das verstehe ich nicht. Machst Du diese Grenzwertbildung erst, nachdem Du eine Stammfunktion gefunden hast? Denn nicht jedes [mm] $x\,$ [/mm] kannst Du ja einfach gegen [mm] $0\,$ [/mm] laufen lassen.
"Den Limes unter das Integral ziehen" macht bei einem festen Integranden auch keinen Sinn; es würde evtl. bei Funktionenfolgen Sinn machen und ist da, unter gewissen Voraussetzungen, erlaubt. Aber einfach "einen Limes bzgl. der Integrationsvariable unter das Integral ziehen", ist i.a. nicht erlaubt. Dadurch verändert man ja die ganze Funktion:
Z.B. ist [mm] $\int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}\,,$ [/mm] aber
[mm] $$\int_0^1 \lim_{x \to 0}x^2dx=\int_0^1 0dx=0\,,$$
[/mm]
bzw. allgemeiner
[mm] $$\int_0^1 \lim_{x \to a}x^2dx=a^2\,.$$
[/mm]
Was Dir aber bei Deiner Aufgabe hilft:
Da für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $$\frac{1}{2}\sin(x+x)=\sin(x)\cos(x)\,,$$
[/mm]
folgt
[mm] $$\integral_{}^{}{(sin\wurzel{x} * cos\wurzel{x})/\wurzel{x} dx}=\frac{1}{2}\int \sin(2*\sqrt{x})/\sqrt{x}\;dx\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $u=u(x):=2*\sqrt{x}$ [/mm] gilt [mm] $du=\frac{1}{\sqrt{x}}\;dx$ [/mm] und daher
[mm] $$\int \frac{\sin(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\;dx=\int \sin(u)\;du\,.$$
[/mm]
Löse das letztstehende und bastel mal alles zusammen.
Beste Grüße,
Marcel
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