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| Aufgabe | | Wie lautet das unbestimmte Integral von [mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)}?? [/mm] |
Halli hallo,
was genau ist denn hier gemeint mit wie lautet das unbestimmte Integral?? Weil das wäre doch nur Integralzeichen davor und fertig, oder??? also
[mm] \integral{\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)}}
[/mm]
Soll man das bei dieser Aufgabenstellung jetzt auch noch berechnen? Wenn ja, wie kann ich denn
[mm] \bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)} [/mm] vereinfachen??
Ich kenne die Beziehung am Einheitskreis, also [mm] cos^2(x)+sin^2(x)=1. [/mm] aber das vereinfacht ja nicht wirklich etwas, oder?
[mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)} =\bruch{sin(x)}{sin^2(x)-1}-\bruch{cos(x)}{cos^2(x)-1} [/mm]
damit ist es ja noch nicht viel einfach geworden. oder gleich denselben Hauptnenner suchen, also
[mm] f(x)=\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)} =\bruch{sin(x)*sin^2(x)-cos(x)*cos^2(x)}{cos^2(x)*sin^2(x)} [/mm]
Wie könnte es weitergehen???
Grüße
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Hiho,
hier musst du folgende 2 Regeln verwenden:
1.) [mm] $\integral [/mm] f(x) - g(x) dx = [mm] \integral [/mm] f(x) dx - [mm] \integral [/mm] g(x) dx$
2.) Substitutionsregel, wobei du jeweils den Nenner komplett wegsubstituierst.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie lautet das unbestimmte Integral von
> [mm]f(x)=\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)}??[/mm]
>
> Halli hallo,
>
> was genau ist denn hier gemeint mit wie lautet das
> unbestimmte Integral?? Weil das wäre doch nur
> Integralzeichen davor und fertig, oder??? also
sinnvollerweise ein [mm] $dx\,$ [/mm] dahinter.
> [mm]\integral{\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)}}\red{dx}[/mm]
und - wie man einer alten Diskussion, an der Fred auch beteiligt war,
entnimmt, schreibt man sogar besser:
[mm]\integral{\red{\left(}\bruch{\sin(x)}{\cos^2(x)}-\bruch{\cos(x)}{\sin^2(x)}}\red{\bigg)}\red{dx}[/mm]
Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Stammfunktion
Gruß,
Marcel
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Halli hallo nochmal
[mm] \integral{(\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}-\bruch{cos(x)}{sin^2(x)})}{dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{sin(x)}{cos^2(x)}}{dx} [/mm] - [mm] \integral{\bruch{cos(x)}{sin^2(x)}}{dx}
[/mm]
wie substitutiere ich jetzt am sinnvollsten??
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Hiho,
beim ersten Integral substituierst du mal $z = [mm] \cos(x)$, [/mm] aufs zweite kommst du dann bestimmt selbst....
MFG,
Gono.
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Hi,
ich komme dann auf die Stammfunktion
[mm] F(x)=-\bruch{1}{cos(x)}-\bruch{1}{sin(x)}
[/mm]
könnt ihr das so bestätigen?? weiter vereinfachen geht wohl nicht, oder??
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Hiho,
> ich komme dann auf die Stammfunktion
>
> [mm]F(x)=-\bruch{1}{cos(x)}-\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
Da ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
Schau da nochmal genauer drauf, ansonsten stimmt es.
> weiter vereinfachen geht wohl nicht, oder??
Naja, man kann es umschreiben, aber ob es dann "einfacher" wird.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 14.10.2012 | | Autor: | steve.joke |
Vielen Dank.
Bye
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 So 14.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steve,
> Hi,
>
> ich komme dann auf die Stammfunktion
>
> [mm]F(x)=-\bruch{1}{cos(x)}-\bruch{1}{sin(x)}[/mm]
mit Gonos Korrekturhinweis ist dann [mm] $F\,$ [/mm] EINE Stammfunktion von
[mm] $f\,$ [/mm] - Stammfunktionen sind (unter entsprechenden Voraussetzungen)
nur eindeutig bis auf Konstante (Funktionen).
Gruß,
Marcel
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