Uneigentl. Integral (Konv.) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Für $j=1, 2, 3$ sei [mm] $f_j\colon \mathbb{R}\to \mathbb{C}$. [/mm] Geben Sie in den folgenden Teilaufgaben jeweils die Menge aller [mm] $p\in[1, \infty]$ [/mm] an, so dass [mm] $f_j\in\mathcal{L}^p(\mathbb{R})$, [/mm] $j=1, 2, 3$, gilt.
... ii) [mm] $f_2(x)=\frac{1}{(1+x^2)^\frac{1}{2}}$ [/mm] iii) ... |
Hallo mal wieder,
mein konkretes Problem ist das Folgende:
Es geht ja für [mm] $1\leqslant [/mm] p [mm] <\infty$ [/mm] um die Berechnung von [mm] $\int_\mathbb{R} |f_2(x)|^p\operatorname{d}x$. [/mm]
(Für [mm] $p=\infty$ [/mm] ist es ja klar, denn [mm] $f_2$ [/mm] ist ja eindeutig durch 1 beschränkt.) Für [mm] $p\geqslant [/mm] 2$ ist [mm] $\int_\mathbb{R} |f_2(x)|^p \operatorname{d}x <\infty$ [/mm] ja auch klar, weil ja [mm] $\int_\mathbb{R} |f_2(x)|^p \operatorname{d}x=2\int_0^\infty |f_2(x)|^p \operatorname{d}x$ [/mm] und [mm] $|f_2(x)|^p$ [/mm] monoton fällt für [mm] $p\to \infty$, [/mm] und [mm] $\int_\mathbb{R} |f_2(x)|^2 \operatorname{d}x =\pi$, [/mm] wodurch sich das Integral für [mm] $p\geqslant [/mm] 2$ abschätzen lässt. Für $p=1$ lässt sich das Integral ja auch noch recht bequem ausrechnen nachgucken, denn es ist ja [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\operatorname{d}x=\operatorname{arsinh}(x)+C$, [/mm] und damit ist [mm] $\int_\mathbb{R} |f_2(x)|^1 \operatorname{d}x=\infty$. [/mm]
Wie gehe ich jetzt aber für $1<p<2$ vor? Nach ein bisschen rumprobieren mit WolframAlpha bin ich zu der Vermutung gekommen, dass die Integrale alle konvergieren, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
Habt ihr vielleicht einen Tipp für eine passende Abschätzung, oder lassen sich die Integrale konkret berechnen?
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Sei [mm]p>1[/mm]. Für [mm]x \geq 1[/mm] kann man abschätzen:
[mm]\frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^{\frac{p}{2}}} < \frac{1}{\left( x^2 \right)^{\frac{p}{2}}} = \frac{1}{x^p}[/mm]
Das Integral [mm]\int_1^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^p}[/mm] konvergiert aber.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Lustique |
> Sei [mm]p>1[/mm]. Für [mm]x \geq 1[/mm] kann man abschätzen:
>
> [mm]\frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^{\frac{p}{2}}} < \frac{1}{\left( x^2 \right)^{\frac{p}{2}}} = \frac{1}{x^p}[/mm]
>
> Das Integral [mm]\int_1^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^p}[/mm]
> konvergiert aber.
Ich habe ganz vergessen mich zu bedanken, also danke! Auch wenn ich darauf wohl selbst hätte kommen können sollen (und können), hat mir das auf jeden Fall weitergeholfen.
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