Uneigentliche Integral, Trig, < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 10.08.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Betrachten Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergent, uneigentlich konvergent oder nicht konvergent sind:
[mm] \int_1^\infty \frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)}dx [/mm] |
Hallo,
Da es in dem Intervall keine Nullstellen des Nenners gibt bleibt nur die kritische obere Grenze unendlich anzuschauen.
Ich vermute Divergenz.
Meine Gedanken zu möglichen Abschätzungen:
Die Abschätzuns sin(u)>u/2 für 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le \pi/3 [/mm] ist hier zwar anwendbar da 0 < u:=1/x < [mm] \pi/3 [/mm] ist, jedoch geht die Abschätzung in die falsche Richtung für die Suche nach einer divergenten Minorante.
Die Reihendarstellung kann ich nur für den Sinus verwenden denn beim arctan ist das |Argument| nicht kleiner als 1.
Für |x|<1:
sin [mm] x=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k*\frac{x^(2k+1)}{(2k+1)!}=x-x^3/3!+x^5/5!...
[/mm]
sin x [mm] \le [/mm] x
sin x [mm] \ge x-x^3/3!
[/mm]
sin x [mm] \le x-x^3/3!+x^5/5
[/mm]
Wegen [mm] \lim_{x\rightarrow\infty} arctan(-e^x)=- \pi/2 [/mm] wird meine Abschätzung von [mm] arctan(-e^x) [/mm] auch immer negativ aber eine Minorante muss positiv sein.
Ich würde mich über einen Tipp freuen;)
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mo 10.08.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Integrand ist monoton, wenn [mm] \integral_{1}^{Infty}{f(x) dx} [/mm] konvergiert oder divergiert dann auch [mm] -\integral_{1}^{Infty}{f(x) dx} [/mm] d.h. dein minus ist kein Hindernis-
falsch ist sin(x)>x, richtig ist sin(x)<x für alle x>0 f(x)=x ist Tangente in 0 und sin bleibt unter der Tangente
richtig ist z.B.sin(x)>0,5x für x<1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Di 11.08.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Antwort!
Wie kommst du denn auf dieses Kriterium? Aus welchen Kriterium folgt es?
[mm] \int_1^\infty [/mm] f(x) konvergiert wenn f für jedes t>1 auf [1,t] R-integrierbar und [mm] \int_a^t [/mm] f (x) [mm] \rightarrow [/mm] J für t [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
[mm] -\int_1^t f(x)=\int_1^t [/mm] -f(x) ist ebenfalls R-integrierbar für jedes t>1
ZZ.: [mm] -\int_a^t [/mm] f (x) [mm] \rightarrow [/mm] S für t [mm] \rightarrow \infty.
[/mm]
Wenn (f) monoton steigend ist, ist (-f) als Spiegelung an der x-Achse monoton fallend.
??
Wir hatten nur das Monotoniekriterium:
Im Fall f [mm] \ge [/mm] 0 existiert [mm] \int_a^\infty [/mm] f dx genau dann, wenn mit einer gewissen Konstante K>0 gilt:
[mm] \int_a^t [/mm] f dx [mm] \le [/mm] K für alle t>a.
Die Aufgabe wäre sonst geklärt.
- [mm] \frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)} [/mm] > [mm] \frac{- arctan(-e)}{sin(1/x)} [/mm] > [mm] \frac{-arctan(-e)}{x} [/mm] und damit ist - arctan(-e) [mm] \int_1^\infty \frac{1}{x}dx [/mm] eine diergente Minorante für [mm] -\integral_{1}^{\infty} \frac{artan(-e^x)}{sin(1/x)} [/mm] dx .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Di 11.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
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> Wie kommst du denn auf dieses Kriterium? Aus welchen
> Kriterium folgt es?
> [mm]\int_1^\infty[/mm] f(x) konvergiert wenn f für jedes t>1 auf
> [1,t] R-integrierbar und [mm]\int_a^t[/mm] f (x) [mm]\rightarrow[/mm] J für
> t [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
> [mm]-\int_1^t f(x)=\int_1^t[/mm] -f(x) ist
> ebenfalls R-integrierbar für jedes t>1
> ZZ.: [mm]-\int_a^t[/mm] f (x) [mm]\rightarrow[/mm] S für t [mm]\rightarrow \infty.[/mm]
>
> Wenn (f) monoton steigend ist, ist (-f) als Spiegelung an
> der x-Achse monoton fallend.
> ??
>
> Wir hatten nur das Monotoniekriterium:
> Im Fall f [mm]\ge[/mm] 0 existiert [mm]\int_a^\infty[/mm] f dx genau dann,
> wenn mit einer gewissen Konstante K>0 gilt:
> [mm]\int_a^t[/mm] f dx [mm]\le[/mm] K für alle t>a.
>
>
> Die Aufgabe wäre sonst geklärt.
> - [mm]\frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)}[/mm] > [mm]\frac{- arctan(-e)}{sin(1/x)}[/mm]
> > [mm]\frac{-arctan(-e)}{x}[/mm] und damit ist - arctan(-e)
> [mm]\int_1^\infty \frac{1}{x}dx[/mm] eine diergente Minorante für
> [mm]-\integral_{1}^{\infty} \frac{artan(-e^x)}{sin(1/x)}[/mm] dx .
Alles richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 11.08.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
Wie kann eine Frage richtig sein?
Ich hatte noch nicht verstanden warum aus der Monotonie des Integranden folgt: $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{-f(x) dx} [/mm] $ konvergiert.
Wozu brauche ich da die Monotonie des Integranden?
Lg,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 11.08.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich h'tte genauer formulieren sollen>
wenn [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm] konvergiert, dann auch [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
deine Funktion ist überall negativ, und monoton fallend d.h. der GW ist negativ aber vom Betrag her dasselbe wie [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)| dx} [/mm]
Monoton ist dabei nicht nötig, nur ein Vorzeichen im ganzen Integrationsbereich.
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 13.08.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich denke ich habe verstanden was du meinst:
Da f(x)<0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [1,\infty) [/mm] folgt aus Divergenz von |f(x)|=-f(x) die Divergenz von f(x).
Allgemein formuliert: Ist f(x) nur positiv (oder nur negativ) im zu integrierenden Intervall dann gilt: [mm] \int_{I} [/mm] f(x) existiert genau dann wenn [mm] \int_{I} [/mm] - f(x) existiert.
Beweis: Monotoniekriterium, denn das Integral [mm] \int_a^t [/mm] f d(x)wächst im Fall f [mm] \ge [/mm] 0 monoton mit t. Und imm Fall f [mm] \le [/mm] 0 fällt es monoton mit t.
Ich hoffe ich hab das nun richtig verstanden auf was du hinauswolltest.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Fr 14.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Ich denke ich habe verstanden was du meinst:
>
> Da f(x)<0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in [1,\infty)[/mm] folgt aus Divergenz von
> |f(x)|=-f(x) die Divergenz von f(x).
> Allgemein formuliert: Ist f(x) nur positiv (oder nur
> negativ) im zu integrierenden Intervall dann gilt: [mm]\int_{I}[/mm]
> f(x) existiert genau dann wenn [mm]\int_{I}[/mm] - f(x) existiert.
Das gilt doch immer !! Das folgende formuliere ich nur für uneigentliche Integrale der Form [mm] \integral_{a}^{\infty}{f(t) dt}. [/mm] Entsprechendes gilt für andere Typen uneigentlicher Integrale.
Sei also a [mm] \in \IR, [/mm] $f:[a, [mm] \infty) \to \IR$ [/mm] eine Funktion und f sei Riemann-integrierbar über jedes Intervall [a,b] mit b>a. Dann:
[mm] \integral_{a}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] konvergiert [mm] \gdw \integral_{a}^{\infty}{(-f(t)) dt} [/mm] konvergiert.
In diesem Fall ist
[mm] $\integral_{a}^{\infty}{(-f(t)) dt}=-\integral_{a}^{\infty}{f(t) dt}$
[/mm]
Beweis: für $x [mm] \in [/mm] [a, [mm] \infty)$ [/mm] setze g(x)=-f(x),
$ [mm] F(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt}$ [/mm] und [mm] $G(x)=\integral_{a}^{x}{(-f(t) )dt} [/mm] $.
Dann haben wir G=-F auf [a, [mm] \infty).
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}F(x) [/mm] ex. in [mm] \IR \gdw [/mm] der Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}G(x) [/mm] ex. in [mm] \IR \gdw \integral_{a}^{\infty}{(-f(t)) dt} [/mm] konvergiert.
In duesem Fall ist
[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}G(x) [/mm] =- [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}F(x) [/mm] $
FRED
> Beweis: Monotoniekriterium, denn das Integral [mm]\int_a^t[/mm] f
> d(x)wächst im Fall f [mm]\ge[/mm] 0 monoton mit t. Und imm Fall f
> [mm]\le[/mm] 0 fällt es monoton mit t.
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> Ich hoffe ich hab das nun richtig verstanden auf was du
> hinauswolltest.
> LG,
> sissi
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[mm] |arctan(-e^x)|>|arctan(-e^1)|>1,2, [/mm] falls [mm] x\ge [/mm] 1,
da mit der negativen e-Fkt. die tan-Fkt. monoton fällt (von -1,2... bei x=1 bis auf den Wert [mm] -\pi/2 [/mm] bei [mm] x=\infty).
[/mm]
|sin(1/x)|<1 für [mm] x\ge [/mm] 1
Somit: [mm] |\int_1^\infty \frac{arctan(-e^x)}{sin(1/x)}dx| [/mm] = [mm] \int_1^\infty \frac{|arctan(-e^x)|}{sin(1/x)}dx \ge \int_1^\infty \frac{1,2}{1}dx =\infty
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Do 13.08.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!
LG,
sissi
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