Uneigentliche Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Plumbum |
| Aufgabe | Berechne für a,b [mm] \varepsilon [/mm] (0,1) die Werte der uneigentlichen Integrale
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{a^x - b^x}{x} dx} [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand helfen, wie ich da anfangen soll. Ich kann immer noch keine Integrale richtig rechnen. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das scheint mir gar keine elementare Sache zu sein. Zur Lösung habe ich mir Folgendes überlegt:
Man betrachtet das vom Parameter [mm]t<0[/mm] abhängige Integral
[mm]\int_1^{\infty}~\frac{\xi^{t-1} - \xi^{-2}}{\ln{\xi}}~\mathrm{d}\xi[/mm]
Es konvergiert speziell für [mm]t=-1[/mm] mit dem Integralwert [mm]0[/mm]. Differenziert man unter dem Integralzeichen nach [mm]t[/mm], so erhält man das in jedem Intervall [mm](-\infty,\alpha][/mm] mit [mm]\alpha<0[/mm] in [mm]t[/mm] gleichmäßig konvergente Integral
[mm]\int_1^{\infty}~\xi^{t-1}~\mathrm{d}\xi = - \frac{1}{t}[/mm]
Denn es ist ja [mm]\int_1^{\infty}~\xi^{\alpha - 1}~\mathrm{d}\xi = - \frac{1}{\alpha}[/mm] eine von [mm]t[/mm] unabhängige Majorante. Damit wird für [mm]t<0[/mm] durch
[mm]F(t) = \int_1^{\infty}~\frac{\xi^{t-1} - \xi^{-2}}{\ln{\xi}}~\mathrm{d}\xi[/mm]
eine differenzierbare Funktion mit
[mm]F'(t) = - \frac{1}{t}[/mm]
als Ableitung definiert. Wegen [mm]F(-1) = 0[/mm] folgt somit
[mm]F(t) = \int_1^{\infty}~\frac{\xi^{t-1} - \xi^{-2}}{\ln{\xi}}~\mathrm{d}\xi = - \ln{(-t)} \ \ \mbox{für} \ \ t<0[/mm]
Wenn man jetzt im zu berechnenden Integral die Substitution [mm]x = \ln{\xi}[/mm] vornimmt, erhält man
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{a^x - b^x}{x}~\mathrm{d}x = \int_1^{\infty}~\frac{\xi^{\ln{a} - 1} - \xi^{\ln{b} - 1}}{\ln{\xi}}~\mathrm{d}\xi[/mm]
[mm]= \int_1^{\infty}~\frac{\xi^{\ln{a} - 1} - \xi^{-2}}{\ln{\xi}}~\mathrm{d}\xi - \int_1^{\infty}~\frac{\xi^{\ln{b} - 1} - \xi^{-2}}{\ln{\xi}}~\mathrm{d}\xi = F \left( \ln{a} \right) - F \left( \ln{b} \right) = \ln{\left( - \ln{b} \right)} - \ln{\left( - \ln{a} \right)}[/mm]
Ob das einfacher geht, weiß ich nicht. Vielleicht mußt du auf irgendwelche Formeln aus früheren Übungsaufgaben zurückgreifen, um dieses Integral berechnen zu können.
Nachtrag:
Es geht übrigens auch ohne die Substitution, wenn man
[mm]G(t) = \int_0^{\infty}~\frac{t^x - \operatorname{e}^{-x}}{x}~\mathrm{d}x \, , \ \ t \in (0,1)[/mm]
unter dem Integralzeichen nach [mm]t[/mm] differenziert. Man erhält [mm]G'(t) = - \frac{1}{t \ln{t}}[/mm], was wegen [mm]G \left( \operatorname{e}^{-1} \right) = 0[/mm] auf
[mm]G(t) = - \ln{\left( - \ln{t} \right)}[/mm]
führt. Dann bekommt man den Integralwert mit demselben Trick:
[mm]\int_0^{\infty}~\frac{a^x - b^x}{x}~\mathrm{d}x = \int_0^{\infty}~\frac{a^x - \operatorname{e}^{-x}}{x}~\mathrm{d}x - \int_0^{\infty}~\frac{b^x - \operatorname{e}^{-x}}{x}~\mathrm{d}x[/mm]
Die Einzelheiten der Rechnung, insbesondere Konvergenzfragen, seien dir überlassen.
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