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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Di 09.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Ich soll einige unbestimmte Intergrale auf Konvergenz untersuchen.
Das funktionert ja i.A. so ...
Bsp.: Zu untersuchen: [mm] \integral_{0}^{1}{log(x) dx}.
[/mm]
Okay, nun ist ja F(x)=xlog(x)-x. (*)
Daraus folgt, dass [mm] \integral_{0}^{1}{log(x) dx}= \limes_{x\rightarrow\ 0+}F(1)-F(x)=-1 [/mm] gemäß Rechnung mit (*).
D.h., das Integral ist konvergent.
Nun ist doch die Vorgehensweise stets gleich, oder?
Ich habe nämlich Probleme z.B. die Stammfunktionen von [mm] 1/(sin(x))^{1/2}, [/mm] sin(1/x) oder [mm] 1/(x^{2}-1)^{1/4} [/mm] (um nur einige zu nennen) zu bestimmen! :(
Würde mich freuen wenn mir da jemand helfen kann!
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Di 09.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Kübi!
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> Ich soll einige unbestimmte Intergrale auf Konvergenz
> untersuchen.
>
> Das funktionert ja i.A. so ...
>
> Bsp.: Zu untersuchen: [mm]\integral_{0}^{1}{log(x) dx}.[/mm]
>
> Okay, nun ist ja F(x)=xlog(x)-x. (*)
>
> Daraus folgt, dass [mm]\integral_{0}^{1}{log(x) dx}= \limes_{x\rightarrow\ 0+}F(1)-F(x)=-1[/mm]
> gemäß Rechnung mit (*).
Ist das so klar?
> D.h., das Integral ist konvergent.
>
> Nun ist doch die Vorgehensweise stets gleich, oder?
>
> Ich habe nämlich Probleme z.B. die Stammfunktionen von
> [mm]1/(sin(x))^{1/2},[/mm] sin(1/x) oder [mm]1/(x^{2}-1)^{1/4}[/mm] (um nur
> einige zu nennen) zu bestimmen! :(
Du denkst dabei bestimmt an halbwegs elementare Funktionen, und damit geht das eben meistens nicht (ganz im Gegensatz zu dem, was man in der Schule so treibt). Für die Konvergenzuntersuchungen mußt du also andere (neudeutsch) tools verwenden. Bedenke, daß du das Integral nicht berechnen sollst, es interessiert nur die Existenz, was für Mathematiker ganz typisch ist und worüber es viele Witze gibt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 09.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Danke für die Antwort!
Leider verstehe ich trotzdem nur "Bahnhof". 
Vielleicht kann mir ja jemamnd an nem konkreten Beispiel wie [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{ \wurzel{sin(x)}} dx} [/mm] zeigen wies geht!
Ich komm da nämlich nicht weiter!
Vielen Dank und vlg, Kübi
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Reden wir nur einmal von Funktionen mit nichtnegativen Werten. Man vergleicht den gegebenen Integranden [mm]f(x)[/mm] mit einem anderen Integranden [mm]g(x)[/mm].
1. Wenn gilt
[mm]f(x) \leq g(x) \ \ \mbox{für alle} \ x \in (a,b) \ \ \ \mbox{und} \ \ \int_a^b~g(x)~\mathrm{d}x \ \ \mbox{konvergiert}[/mm]
dann konvergiert auch [mm]\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x[/mm]. Man sagt: Das Integral [mm]\int_a^b~g(x)~\mathrm{d}x[/mm] ist eine konvergente Majorante des Integrals [mm]\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x[/mm].
Anschaulich: Wenn der Flächeninhalt unter der höheren Kurve endlich ist, dann ist auch der Flächeninhalt unter der niedrigeren Kurve endlich.
2. Wenn dagegen gilt
[mm]f(x) \geq g(x) \ \ \mbox{für alle} \ x \in (a,b) \ \ \ \mbox{und} \ \ \int_a^b~g(x)~\mathrm{d}x \ \ \mbox{divergiert}[/mm]
dann divergiert auch [mm]\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x[/mm]. Man sagt: Das Integral [mm]\int_a^b~g(x)~\mathrm{d}x[/mm] ist eine divergente Minorante des Integrals [mm]\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x[/mm].
Anschaulich: Wenn der Flächeninhalt unter der niedrigeren Kurve schon unendlich ist, dann ist der Flächeninhalt unter der höheren Kurve erst recht unendlich.
Die Schwierigkeit bei solchen Aufgaben ist es, geschickt eine Majorante oder Minorante zu finden.
Hier bietet sich der Vergleich mit der Wurzelfunktion an. Da der Sinus im Intervall [mm]\left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)[/mm] konkav ist (die zweite Ableitung ist negativ), liegt der Sinusgraph oberhalb der Strecke von [mm](0,0)[/mm] nach [mm]\left( \frac{\pi}{2} , 1 \right)[/mm]. Es gilt daher:
[mm]\sin{x} > \frac{2}{\pi} \, x \ \ \mbox{für} \ 0 < x < \frac{\pi}{2}[/mm]
Die Ungleichung kann zu
[mm]\frac{1}{\sqrt{\sin{x}}} < \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}[/mm]
umgeformt werden. Was heißt das nun für das zu untersuchende Integral?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 09.05.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Vielen Dank für die ausführliche Hilfe!
Was du mir erklärst hast, habe ich verstanden (wurde in der Vorlesung als Satz bewiesen!)
Gemäß deiner Rechnung ist das zu untersuchende Integral konvergent, da wir ja die Majorante gefunden haben. Hierzu auch eine Frage: Diese Gleichung umstellen, wie funktioniert das? Wurzelziehen ist doch keine Äquivalenzumformung!?
Auf eben jenen Satz wollte ich mich anfänglich nicht stützen, da mir die Suche nach Majoranten sehr schwierig erscheint.
Und Patentrezepte wird es da wohl kaum geben!?
Vlg, Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo kuebi
Wenn du die majorante hast, musst du erst noch zeigen, dass das Integral existiert!
2. man sieht sich die fkt. an, und rät dann ne geschickte Variante, also bei konvexen fkt, liegt die Sehne drunter, die Tangente drüber usw.
Allgemeines zu Konvergenzbeweisen kann man nicht sagen!
dein log hat das Problem x*logx für x gegen 0 wie kommst du da auf -1, das musst du doch mindestens beweisen. du kannst da allerdings auch [mm] -e^{x} [/mm] von - [mm] \infty [/mm] bis 1 integrieren [mm] x=e^{z} [/mm] substituieren.
Auch bei Ungleichungen, kann man so umformen, dass das ungleichheitszeichen erhalten bleibt; das ist allerdings nicht immer ne Äquivalenzumformung, die brauchst du ja nicht, sondern nur ne gültige Abschätzung.
Gruss leduart
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