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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 So 04.02.2007 | | Autor: | Loon |
Hallo,
Zur Zeit beschäftigen wir uns in der Schule mit uneigentlichen Integralen und der Flächenbestimmung von Rotationskörpern. Die gesamte Integralrechnung ist mir relativ suspekt und jetzt bin ich an dem Punkt, an dem ich überhaupt nicht mehr durchsteige! :( Ich habe das Gefühl, dass ich die Berechnungen der Rotationskörper überhaupt nicht verstanden habe. Bei den uneigentlichen Integralen ist mir hauptsächlich die Schreibweise ein Rätsel und ich kann mir wenig darunter vorstellen.
Deswegen brauche ich unbedingt Hilfe! Einen geeigneten Vorkurs gibt es leider nicht...
Es würde mir wirklich helfen, wenn mir jemand diese Rechnungen und ihren Sinn erklären könnte!!
Vielen Dank,
Loon
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Hi, Loon,
ich versuch mal einen "Schnellkurs", wobei naturgemäß durch die Kürze ein paar mathematische Ungenauigkeiten reinrutschen müssen.
(1) Mit dem "uneigentlichen Integral" berechnet man Flächeninhalte von Flächen, die "irgendwie" bis ins Unendliche reichen.
Es kommt nämlich vor, dass z.B. eine Fläche, die die x_Achse als waagrechte Asymptote hat, also "unendlich breit" ist, trotzdem einen endlichen Flächeninhalt hat, weil ihre Höhe für x [mm] \to \infty [/mm] schneller abnimmt als die Breite zunimmt.
(2) Was steckt hinter der Berechnung von Rotationskörpern?
Nehmen wir Rotation einer Kurve mit dem Funktionsterm f(x) um die x-Achse.
Letztlich zerlegt man den entstehenden Rotationskörper in ganz schmale (Höhe: dx), kreisförmige Scheiben (die x-Achse durchstößt alle diese Scheiben genau im Mittelpunkt), berechnet erst mal deren Flächen und, multipliziert mit dx, deren Volumen.
Das Gesamtvolumen erhält man dann durch Addition sämtlicher (bei immer kleiner werdendem dx unendlich vieler) Kreisscheiben.
Und wie groß ist nun das Volumen einer solchen Scheibe?
Nehmen wir die allgemeine Scheibe mit dem Mittelpunkt x.
Ihr Radius ist der Funktionswert an der Stelle x, also: r=f(x).
Und für die Fläche eines Kreises gilt: [mm] F=r^{2}*\pi,
[/mm]
demnach hier: [mm] F=(f(x))^{2}*\pi.
[/mm]
Die Dicke der Scheibe ist dx, also: [mm] V_{Scheibe} [/mm] = [mm] \pi*(f(x))^{2}*dx.
[/mm]
Und die Tatsache, dass man alle Scheiben im vorgegebenen Bereich von a bis b zusammenzählt, also [mm] \red{s}ummiert, [/mm] wird durch das Integralzeichen ausgedrückt, was ja nichts anderes ist als ein in die Länge gezogenes [mm] \red{S}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Loon |
Vielen Dank!!:)
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