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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die uneigentlichen Integrale
[mm] a)\integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2} dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{1}^{\infty}{\bruch{ln(2+exp(-x))}{\wurzel{x}} dx}
[/mm]
konvergieren. |
Hallo,
ich habe beide Teilaufgaben mit dem Integralkriterium gelöst:
[mm] a)\integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2} dx}
[/mm]
=>
[mm] \bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2}
[/mm]
[mm] <=>\bruch{3+sin(\wurzel{x})}{x^4}
[/mm]
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel{\bruch{3+sin(\wurzel{x})}{x^4}}
[/mm]
[mm] \le \wurzel{\bruch{3+1}{x^2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{|4|}{x^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{x^2}<1 [/mm] für x>=2
=> konvergent
Hmm, wie gebe ich denn Betragsstriche ein? Das Wurzelkriterium ist ja nur im Betrag gültig...
b)
Würde ich ebenfalls mit dem Integralkriterium und dann Quotientenkriterium lösen. Abere ich würde gerne wissen, ob der Ansatz richtig ist, oder ich ganz anders an die Aufgaben herangehen sollte.
Liebe Grüße
sommersonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 01.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Sommersonne
> Untersuchen Sie, ob die uneigentlichen Integrale
>
> [mm]a)\integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2} dx}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{1}^{\infty}{\bruch{ln(2+exp(-x))}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> konvergieren.
> Hallo,
>
> ich habe beide Teilaufgaben mit dem Integralkriterium
> gelöst:
Was nennst du das "Integralkriterium?
> [mm]a)\integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2} dx}[/mm]
>
> =>
folgt? wieso?
> [mm]\bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2}[/mm]
> [mm]<=>\bruch{3+sin(\wurzel{x})}{x^4}[/mm]
sicher nicht aequivalent zur Zeile davor??
Was bedeuten die Pfeile ?
ich sehe, du hast den Integranden quadriert, warum?
> Wurzelkriterium:
> [mm]\wurzel{\bruch{3+sin(\wurzel{x})}{x^4}}[/mm]
Das ist kein Kritrium, sonder macht deinen erst Schritt rueckgaengig?
ab hier tutst du was richtiges, du schaetzest den Integranden richtig ab.
> [mm]\le \wurzel{\bruch{3+1}{x^2}}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{\bruch{|4|}{x^2}}[/mm]
dazwischen Schreibfehler, ie Wurzel ist nur im Zaehler
> = [mm]\bruch{2}{x^2}<1[/mm] für x>=2
>
> => konvergent
aus Integrand <1 folgt keine Konvergenz!
etwa
[mm] \integral_{a}^{b\infty}{0,1 dx} [/mm] existiert nicht!!
Du hast gezeigt:
[mm] \integral_{1}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{1}^{b}{2/x^2 dx}=[-2/x]^1_b
[/mm]
und das konv. fuer b gegen [mm] \infty.
[/mm]
Betragsstriche brauchst du nicht, da deine fkt ueberall>0 ist. Du kannst sie deshalb schreiben, ohne, dass sich was aendert.
> Hmm, wie gebe ich denn Betragsstriche ein? Das
> Wurzelkriterium ist ja nur im Betrag gültig...
>
> b)
> Würde ich ebenfalls mit dem Integralkriterium und dann
> Quotientenkriterium lösen. Abere ich würde gerne wissen, ob
> der Ansatz richtig ist, oder ich ganz anders an die
> Aufgaben herangehen sollte.
Da ich nicht weiss, was du hier mit den 2 Kriterien meinst kann ich nur sagen, dass a falsch war.
b siehst du hoffentlich konvergiert nicht. das musst du noch zeigen.
Gruss leduart
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
vielen Dank für deine Korrektur!
Hm, wir haben als ![[]](/images/popup.gif) Integralkriterium, daher dachte ich, es wäre möglich, die Konvergenz über die Kriterien für Konvergenz der unendlichen Reihen zu zeigen?!
Liebe Grüße
sommersonne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 01.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Integralkriterium benutzt man, und so ist es auch beschrieben, um die Konvergenz unendlicher Summen zu zeigen! nicht umgekehrt.
Allerdings kannst du in manchen Faellen auch aus dem Integral ne entsprechende unendliche Summe herleiten und deren Konvergenz zeigen, aber dann brauchst du erst die Monotonie (fallend) der fkt!)
Ausserdem kommt in deinem Beweis ja gar keine unendliche Reihe vor?
Meistens benutzt man bei uneigentl. Integralen eine Abschaetzung der Integralfkt nach oben fuer Konvergenz, nach unten fuer Divergenz!
Gruss leduart
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Hallo,
oh da habe ich die Def. echt falsch verstanden, tut mir leid.
Wie grob darf man denn abschätzen? Geht das so:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3+sin(\wurzel{x})}}{x^2} dx}
[/mm]
[mm] \ge \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3-1}}{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{2}}{x^2} dx}
[/mm]
[mm] =[\wurzel{2}*ln(x^2)]
[/mm]
= (mit [mm] c->\infty) \wurzel{2}*ln(c^2) [/mm] - ln(1)
= [mm] \infty
[/mm]
Somit ist das Integral divergent.
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sommersonne!
Deine Stammfunktion ist falsch. Es gilt: [mm] $\integral{\bruch{1}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x^{-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -x^{-1}+C [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x}+C$ [/mm] .
Und diese Funktion konvergiert in den genannten Grenzen.
Von daher musst Du Dein Ausgangsintegral nach oben abschätzen mit [mm] $\sin(z) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ .
Gruß
Loddar
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Hallo,
naja immerhin war die Idee mit dem grob abschätzen richtig ;)
[mm] \le \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{3+1}}{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{\wurzel{4}}{x^2} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] 2\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}
[/mm]
= [mm] 2\integral_{1}^{\infty}{x^{-2} dx}
[/mm]
=[2 [mm] \bruch{x^{-1}}{-1}]
[/mm]
= [mm] c->\infty \bruch{-2}{c} [/mm] - [mm] \bruch{-2}{1}
[/mm]
= 0+2
=2
=> Konvergenz
Liebe Grüße
sommersonne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sommersonne!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So stimmt's ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Di 02.09.2008 | | Autor: | Blech |
Als Beweisskizze stimmt die Idee schon. Die Voraussetzungen für das Integralkriterium sind erfüllt und die Konvergenz der Reihe kann man mit Wurzelkriterium zeigen. Es ist sogar ein schöner Weg, wenn auch unnötig kompliziert. =)
Aber Du hast keine der Voraussetzungen nachgeprüft, und was das [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] dort bedeuten soll (der Grenzwert der Reihe kann sich natürlich ändern, wenn man die Glieder quadriert), ist mir auch nicht ganz klar.
ciao
Stefan
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Hallo,
danke für eure super Antworten!
Liebe Grüße
sommersonne
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