Uneigentliche Integrale < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mo 14.03.2005 | | Autor: | anne-xx |
Hi
Ich habe ein Problem beim lösen von uneigentlichen Integralen.
z.B: Habe ich [mm] \integral_{1}^{ \infty} {\bruch{dx}{x^2(x+1)}}
[/mm]
Dann setz ich für das unendlich z.B a ein und bilde den Grenzwert für a gegen unentlich.Dann löse ich das Integral und setzt für die obere Grenze a ein.Am ende lasse ich a gegen Unentlich gehen.
Jetzt weiß ich aber nicht wie man die Integrale am einfachsten lösen kann.Und wie löse ich so ein Integral wenn ich z.B untere Grenze [mm] -\infty [/mm] und obere Grenze [mm] +\infty [/mm] habe.
z.B: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {cos(7x) dx}
Und bei der 3. weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll.
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{e}} {\bruch{dx}{xln^2x}}
[/mm]
Danke wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
MfG Anne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anne!
[mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{e}} {\bruch{dx}{x*\ln^2(x)}}[/mm]
Diese Integral kannst Du lösen, indem Du mit dem Verfahren der Substitution arbeitest:
$z \ := \ [mm] \ln(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ x * dz$
Grenzen substituieren:
[mm] $z_1 [/mm] \ = \ [mm] \ln(0) [/mm] \ = \ [mm] -\infty$
[/mm]
[mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{1}{e}\right) [/mm] \ = \ -1$
Einsetzen in's Integral ergibt:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{e}} {\bruch{dx}{x*\ln^2(x)}} \ = \ \limes_{A\rightarrow -\infty} \integral_{A}^{-1}} {\bruch{x * dz}{x*z^2}} \ = \ \limes_{A\rightarrow -\infty} \integral_{A}^{-1}} {\bruch{dz}{z^2}} \ = \ \limes_{A\rightarrow -\infty} \integral_{A}^{-1}} {z^{-2} \ dz} \ = \ ...[/mm]
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anne!
Beim 2. Integral kannst Du ausnutzen, daß der [mm] $\cos(z)$ [/mm] eine gerade Funktion ist, d.h. der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Es gilt ja: [mm] $\cos(-z) [/mm] \ = \ [mm] \cos(z)$
[/mm]
Damit wird Dein unbestimmtes Integral zu ...
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {\cos(7x) \ dx} \ = \ \red{2} * \integral_{0}^{\infty} {\cos(7x) \ dx} \ = \ 2 * \limes_{A\rightarrow\infty} \integral_{0}^{A} {\cos(7x) \ dx} \ = \ ...[/mm]
Loddar
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Hallo Anne,
die Vorgehensweise ist so, wie Du sie beschrieben hast, vollkommen richtig.
Bei Integralen der Form
[mm]\int\limits_{1}^{\infty} {f(x)}\;dx [/mm]
bildet man zunächst die Stammfunktion und ermittelt dann den Grenzwert für [mm]\varepsilon \; \to \;\infty [/mm]:
[mm]\int\limits_{1}^{\infty} {f(x)}\;dx\; = \;\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to \infty } \;} \left[ {\int {f(x)\;dx} } \right]_1^\varepsilon [/mm]
Analog ist das bei Integralen der Form:
[mm]\int\limits_{ - \infty }^{\infty} {f(x)}\;dx[/mm]
Hier ist dann das folgende zu betrachten:
[mm]\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)\;dx\; = \;\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to \infty } \;} \left[ {\int {f(x)\;dx} } \right]_{ - \varepsilon }^\varepsilon [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 15.03.2005 | | Autor: | anne-xx |
Danke für die Hilfe,ich habe beide Integrale jetzt ausgerechnet für das 3. habe ich 1 rausbekommen und bei dem mit den Cos existiert kein Grenzwert. Hoffe ich habe mich nicht verechnet.
Habe mal noch eine kurze Frage zu einem Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{-1} {\bruch{2x-1}{x^4} dx}
[/mm]
Geht die mit Supstitution zu lösen oder muß ich da schon die partialbruchzerlegung anwenden??
MfG Anne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Mi 16.03.2005 | | Autor: | anne-xx |
Ok stimmt bei der braucht man wirklich keine PBZ, hab ich nicht genau hingeguckt.
Aber bei dem ersten Integral wird es wohl nicht anderes gehen. Mal sehn ob ich noch weiß wie das ging.
MfG Anne
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Potenzregel