Uneigentliche Integrierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Nick |
Guten Tag,
ich hab' hier ein paar Multiple-Choice-Aufgaben. ICh bin mir bei den antworten nicht ganz sicher und wollte euch bitten mal drüber nachzuschauen:
Existiert [mm]\int_{-\infty}^{0} exp(x)/p(x)\, dx [/mm] für alle Polynome p verschieden vom Nullpolynom?
Ich hab da Nein angekreutzt, ich bin mir da aber nicht sicher, ich hab das rein intuitiv gemacht.
Dann noch die 3 fragen:
Unter einer stückweisen Eigenschaft einer Funktion [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] verstehen wir eine Eigenschaft, die die Einschränkungen der Funktion auf endlich viele offene Teilintervalle [mm](t_1,t_2)....(t_n,t_t_{n+1})[/mm] mit [mm][a,b]=\cup_{j=1}^n [t_j,t_{j+1}][/mm] hat. Dabei seien [mm]a=t_1 \in \IR \cup \{-\infty\}[/mm] und [mm]b=t_{n+1} \in \IR \cup \{\infty\}[/mm], sowie [mm]t_j < t_{j+1}[/mm] reell für alle 1<j<n.
Welche der folgenden Eigenschaften treffen auf die angegebenen Funktionen zu?
1) Stückweise monotone Funktionen [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] für [mm]a
Also da habe ich angekreutzr das er R, uR und b ist, dass alle Antwortmöglichkeiten und das macht mich so unsicher. Aber müsste doch stimmen, oder?
2) Stückweise gleichmäßig stetige Funktionen [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] für [mm]a
Da hab ich auch wieder R, uR und b. Des macht mich noch stutziger. Aber ich meine dass das stimmen muss.
3)Stückweise konstante Funktionen [mm]f:[a,\infty] \rightarrow \IR [/mm] für reelles a
Da hab' ich nur uR.
Was meint ihr dazu?!Danke im voraus.
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nick,
> Existiert [mm]\int_{-\infty}^{0} exp(x)/p(x)\, dx[/mm] für alle
> Polynome p verschieden vom Nullpolynom?
>
> Ich hab da Nein angekreutzt, ich bin mir da aber nicht
> sicher, ich hab das rein intuitiv gemacht.
Das würde ich auch sagen. Problematisch dürften die Nullstellen von [mm] $p(x)\in(-\infty,0)$ [/mm] werden, ich kann mir nicht vorstellen, dass an diesen Polstellen ein endlicher Flächeninhalt entsteht.
>
> Dann noch die 3 fragen:
>
> Unter einer stückweisen Eigenschaft einer Funktion
> [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] verstehen wir eine Eigenschaft, die
> die Einschränkungen der Funktion auf endlich viele offene
> Teilintervalle [mm](t_1,t_2)....(t_n,t_t_{n+1})[/mm] mit
> [mm][a,b]=\cup_{j=1}^n [t_j,t_{j+1}][/mm] hat. Dabei seien [mm]a=t_1 \in \IR \cup \{-\infty\}[/mm]
> und [mm]b=t_{n+1} \in \IR \cup \{\infty\}[/mm], sowie [mm]t_j < t_{j+1}[/mm]
> reell für alle 1<j<n.
> Welche der folgenden Eigenschaften treffen auf die
> angegebenen Funktionen zu?
Wo sind denn die "angegebenen Funktionen"?
> 1) Stückweise monotone Funktionen [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm]
> für [mm]a
> Also da habe ich angekreutzr das er R, uR
> und b ist, dass alle Antwortmöglichkeiten und das macht
Diese Satzkonstruktion verstehe ich nicht, was bedeutet "das er R, uR und b ist"? Und insbesondere: Was ist "uR"?
> mich so unsicher. Aber müsste doch stimmen, oder?
>
> 2) Stückweise gleichmäßig stetige Funktionen
> [mm]f:[a,b]\rightarrow \IR[/mm] für [mm]a
>
> Da hab ich auch wieder R, uR und b. Des macht mich noch
> stutziger. Aber ich meine dass das stimmen muss.
>
> 3)Stückweise konstante Funktionen [mm]f:[a,\infty] \rightarrow \IR[/mm]
> für reelles a
>
> Da hab' ich nur uR.
Fehlen da nicht jeweils die Definitionen von $f$? Ansonsten verstehe ich die Fragen nicht.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Nick |
Sorry marc,
hatte vergessen zu schreiben, dass die Abkürzung R für Rieman-integriebar uR für uneigentlich-Riemann-integrierbar und b für beschränkt stehen. Die Funktionen sind auch nur so wie ich sie eingegeben habe angegeben.
Nick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nick,
> hatte vergessen zu schreiben, dass die Abkürzung R für
> Rieman-integriebar uR für uneigentlich-Riemann-integrierbar
> und b für beschränkt stehen. Die Funktionen sind auch nur
> so wie ich sie eingegeben habe angegeben.
Ah, so langsam verstehe ich die Situation.
Es ist also gefragt, ob eine stückweise monotone/gleichmäßig stetige/konstante Funktion
a) Riemann-integrierbar
b) Uneigentlich-Riemann integrierbar
c) beschränkt
ist. Alles klar.
Wenn es keiner vor mir tut, werde ich mir später noch Gedanken dazu machen.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nick,
ich würde folgendes sagen:
Eine stückweise monotone Funktion (mit [mm] $a,b\in\IR$) [/mm] ist
a) i.a. nicht Riemann-integrierbar
b) i.a. nicht uneigentlich Riemann-integrierbar
c) i.a. nicht beschränkt
Gegenbeispiel für alle drei Punkte: $f(x)=1/x$
Eine stückweise gleichmäßig stetige Funktion (mit [mm] $a,b\in\IR$) [/mm] ist
a) Riemann-intbar wegen c)
b) wegen a) auch uneigentlich R-intbar
c) auch beschränkt (weil gleichmäßig stetige Funktionen auf beschkränkten Menge beschränkt sind)
Eine stückweise konstante Funktion (mit [mm] $a\in\IR,b\in\IR\cup{+\infty}$) [/mm] (hier fehlt ja auffälligerweise die Voraussetzung [mm] $b\in\IR$)
[/mm]
a) i.a. nicht R-intbar
b) i.a. nicht uneigentlich R-intbar
c) aber beschränkt
Gegenbeispiel für a) und b)
[mm] $f:\IR^+\to\IR$ [/mm] (also $a=0, [mm] b=+\infty$)
[/mm]
$f(x)=1$ für alle $x$ (eine konstante Funktion ist natürlich auch stückweise konstant).
Eine Integration würde deswegen in jedem Fall einen uendlich großen Wert ergeben, die Funktion ist also nicht R-intbar.
Jetzt schaue ich mir mal deine Ergebnisse an:
Wir stimmen nur in der stückweise gleichmäßig stetigen Funktion überein...
Viele Grüße,
Marc
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