Uneigentlicher Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Peitho |
| Aufgabe | Es sei x [mm] \in \IR [/mm] . Berechnen Sie den uneigentlichen Grenzwert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x)) |
Hallo,
leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
Ich bin für einen kleinen Denkstubser sehr dankbar.
Vielleicht definiere ich für mich den uneigentlichen Grenzwert falsch. Hiermit ist doch einfach ein Grenzwert [mm] \pm \infty [/mm] gemeint, in dem Fall explizit gegen + [mm] \infty [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
Peitho
|
|
| |
|
Hallo Peitho,
> Es sei x [mm]\in \IR[/mm] . Berechnen Sie den uneigentlichen
> Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x))
> Hallo,
>
> leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von
> l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch
> differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
Doch, das würde klappen, da der konstante Summand im Nenner wegfiele. Man benötigt aber die de l'Hospitalsche Regel hier nicht unbedingt. Du kannst auch im Nenner [mm] e^{3x} [/mm] ausklammern, dann kommst du schneller zum Ziel.
> Ich bin für einen kleinen Denkstubser sehr dankbar.
>
> Vielleicht definiere ich für mich den uneigentlichen
> Grenzwert falsch. Hiermit ist doch einfach ein Grenzwert
> [mm]\pm \infty[/mm] gemeint, in dem Fall explizit gegen + [mm]\infty[/mm] ?
Ich denke, du definierst ihn richtig, aber die Aufgabe verwendet ihn falsch. Von einem uneigentlichen Grenzwert spricht man, wenn der Limes [mm] \infty [/mm] pder [mm] -\infty [/mm] ist, aber das ist hier nicht der Fall. Im Gegenteil, sozusagen...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Diophant,
vielen Dank für deine Antwort, jetzt sehe ich es auch.
Dann steht da:
[exp(-x) * ( 2/exp(3x))] / (3/exp(3x)) folglich nur exp(-x) da die beiden Brüche gegen 0 gehen.
für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] exp(-x) => geht gegen 0.
Ich hoffe so habe ich es richtig verstanden.
Liebe Grüße,
Peitho
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> vielen Dank für deine Antwort, jetzt sehe ich es auch.
>
>
> Dann steht da:
>
> [exp(-x) * ( 2/exp(3x))] / (3/exp(3x)) folglich nur exp(-x)
> da die beiden Brüche gegen 0 gehen.
Du kannst nicht einfach etwas "wegfallen lassen" - Du denkst hier wohl
irgendwie schon mit den Grenzwerten? (Oder Du willst sowas sagen wie
"für große [mm] $x\,$ [/mm] 'dominiert' (was immer das auch heißen möge) dabei der
Term [mm] $\exp(-x)$...")
[/mm]
> für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(-x) => geht gegen 0.
>
>
> Ich hoffe so habe ich es richtig verstanden.
Benutze auch mal bitte den Formeleditor (FE). Was Diophant meinte, ist
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{\exp(2x)}{2+\exp(3x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{\exp(-x)}{\frac{2}{\exp(3x)}+1}\,,$$
[/mm]
und das DARFST Du nun schreiben als
[mm] $$=\frac{\lim_{x \to \infty}\exp(-x)}{\lim_{x \to \infty}(2/\exp(3x))+\lim_{x \to \infty}1}=\frac{0}{0+1}=0/1=0\,.$$
[/mm]
Ich sehe nicht, dass das Deine Überlegungen sind. Aber ich kann Deine
Überlegungen auch nicht wirklich "entziffern". Also bitte: FE benutzen!
P.S. Link zum FE und ![[]](/images/popup.gif) Link zu Latex-Formelsymbolen. (Letzter, weil der FE
auf Latex basiert.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Marcel,
tut mir Leid, hab den Formeleditor noch nicht gesehen.
Ich versuche das oben geschriebene hier nochmal zu erläutern.
Nach l'Hopital und ausklammern von e^3x im Zähler und Nenner steht da:
[mm] \bruch{ e^-x \* \bruch{2}{ e^3x } }{ \bruch{3}{ e^3x } +1} [/mm]
und mit:
[mm] \bruch{ \limes_{x\rightarrow\infty} e^-x \* \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2}{ e^3x } }{ \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3}{ e^3x } + \limes_{x\rightarrow\infty} 1} [/mm]
steht da: [mm] \bruch{0 * 0}{0 +1} [/mm]
So habe ich das gemeint. Aber ich sehe gerade, dass ich mir l'Hopital hätte auch sparen können. Geht ja viel einfacher als ich dachte.
Danke, jetzt weiß ich auch wie ich den Formeleditor benutze! :)
Liebe Grüße,
Peitho
Edit: Leider ist mein Internet wohl zu lahm - ich kann es nicht mehr rückgängig machen. Es sollte keine Frage sondern eine Mitteilung werden. Sorry! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vorweg zu Deinem edit: Ich habe Deine Mitteilung schon in sinnvoller Weise in
eine Frage umgewandelt, denn hier gibt's ja durchaus inhaltliches, was man
kommentieren oder korrigieren kann. Das war also "meine" Schuld. 
> Hallo Marcel,
>
> tut mir Leid, hab den Formeleditor noch nicht gesehen.
>
> Ich versuche das oben geschriebene hier nochmal zu
> erläutern.
>
> Nach l'Hopital und ausklammern von e^3x im Zähler und
> Nenner steht da:
>
>
> [mm]\bruch{ e^-x \* \bruch{2}{ e^3x } }{ \bruch{3}{ e^3x } +1}[/mm]
äh, verstehe ich nicht: Wenn ich de l'Hopital anwende, steht doch da
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{\exp(2x)}{2+\exp(3x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{2*\exp(2x)}{3*\exp(3x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{2\exp(-x)}{3}$$
[/mm]
(Bei dem ersten [mm] $=\,$ [/mm] habe ich de l'Hôpital angewendet, das zweite folgt mit
ausklammern von jeweils [mm] $\exp(3x)$ [/mm] im Zähler und Nenner, oder halt durch
direkte Anwendung von [mm] $\exp(r)/\exp(s)=\exp(r-s)\,.$)
[/mm]
Was hast Du da gerechnet? Also mir ist das nach wie vor unklar. Magst Du
das nochmal detaillierter vorrechnen?
P.S. [mm] $e^{3x}$ [/mm] schreibst Du so: [mm] [nomm]$e^{3x}$[/nomm], [/mm] also mit geschweiften
Klammern um den Exponenten.
Gruß,
Marcel
> und mit:
>
> [mm]\bruch{ \limes_{x\rightarrow\infty} e^-x \* \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2}{ e^3x } }{ \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{3}{ e^3x } + \limes_{x\rightarrow\infty} 1}[/mm]
>
> steht da: [mm] \bruch{0 * 0}{0 +1}[/mm]
>
>
> So habe ich das gemeint. Aber ich sehe gerade, dass ich mir
> l'Hopital hätte auch sparen können. Geht ja viel
> einfacher als ich dachte.
>
> Danke, jetzt weiß ich auch wie ich den Formeleditor
> benutze! :)
>
> Liebe Grüße,
>
> Peitho
>
> Edit: Leider ist mein Internet wohl zu lahm - ich kann es
> nicht mehr rückgängig machen. Es sollte keine Frage
> sondern eine Mitteilung werden. Sorry! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Marcel,
das ist mal wieder lustig, ich stehe heute wohl auf der Leitung.
Ich bekomme mit l'Hopital natürlich auch [mm] \bruch{2exp(2x)}{3exp(3x)} [/mm] raus.
Nun habe ich heute mal wieder so einen Tag wo ich gern Plus und Mal verwechsel. Und so habe ich ausgeklammert - und so getan als ob da 2 + exp(2x) steht und 3 + exp(3x).
Also - ich wollte nicht aus Bosheit für Verwirrung sorgen!
Danke dir für deine große Hilfe!
Grüße,
Peitho
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peitho,
> Hallo Marcel,
>
>
> das ist mal wieder lustig, ich stehe heute wohl auf der
> Leitung.
>
> Ich bekomme mit l'Hopital natürlich auch
> [mm]\bruch{2exp(2x)}{3exp(3x)}[/mm] raus.
>
> Nun habe ich heute mal wieder so einen Tag wo ich gern Plus
> und Mal verwechsel. Und so habe ich ausgeklammert - und so
> getan als ob da 2 + exp(2x) steht und 3 + exp(3x).
okay ^^
> Also - ich wollte nicht aus Bosheit für Verwirrung
> sorgen!
Mich kannst Du damit auch nicht böse treffen. Aber gut, jetzt hast Du
Deinen Fehler erkannt und das wird Dir nicht mehr so schnell passieren, denke
ich - und nach wie vor: Ich wäre auch nie auf die Idee gekommen, dass Du
sowas aus "Bosheit" machst. 
> Danke dir für deine große Hilfe!
Gerne - und der Dank gilt sicher auch Diophant und reverend; das sollest Du
nicht vergessen, nur, weil wir jetzt mehr oder weniger einen Dialog nur zu
zweit weitergeführt haben (wobei Dir das auch normalerweise niemand übel
nehmen wird, wenn Du mal vergisst, Dich zu bedanken).
P.S. Hast Du die Anmerkung gelesen, dass Du durchaus [mm] $n\,$-mal [/mm] de l'Hôpital
anwenden darfst? Bei reverend war das [mm] $\lim_{n \to \infty}$-bilden [/mm] dann eher
das Problem, was i.a. so nicht erklärbar ist, und wohl i.a. auch nicht funktioniert.
Also "unendlich-maliges Anwenden" von de l'Hôpital ist nicht erklärbar, endlich
oftes schon, sofern man dann irgendwann auch zu einem Grenzwert kommt.
(Und natürlich muss man sich jedesmal auch überzeugen, dass die sonstigen
Voraussetzungen zur Anwendung von de l'Hôpital gegeben sind!) Das Beispiel
mit [mm] $\lim_{x \to \infty}P_n(x)/\exp(x)=0$ [/mm] hatte ich ja schon erwähnt, wobei [mm] $P_n$ [/mm] eine (reellwertige)
Polynomfunktion (in einer reellen Variable) vom Grade $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Do 17.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Marcel,
natürlich, ihr habt mir alle sehr geholfen - hiermit ein Dankeschön auch an Diophant und reverend!
Klar, ich lese mit! Und hab jetzt mehr für mich mitgenommen wie eine einfache Aufgabenlösung.
Liebe Grüße,
Peitho.
|
|
|
| |
|
Hallo Peitho,
es gibt hier eine ganze Reihe von Möglichkeiten, den Grenzwert zu bestimmen.
> Es sei x [mm]\in \IR[/mm] . Berechnen Sie den uneigentlichen
> Grenzwert.
Der Begriff ist, wie Diophant schon angemerkt hat, hier nicht korrekt.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x))
> Hallo,
>
> leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von
> l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch
> differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
Doch, das geht. Man muss l'Hôpital nur unendlich oft anwenden.
Wenn man ihn n-mal angewendet hat (n>0), steht da
[mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{e^{2x}}{2+e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*\bruch{e^{2x}}{e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*e^{-x}=\cdots
[/mm]
Nun wissen wir, dass [mm] \lim_{x\to\infty}e^{-x} [/mm] existiert. Darum ist es leicht, nun auch [mm] n\to\infty [/mm] zu betrachten. Nach den Grenzwertsätzen dürfen wir so weitermachen:
[mm] \cdots=\left(\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n\right)*\left(\lim_{x\to\infty}e^{-x}\right)=0*0=0
[/mm]
Das nenne ich mal Lösung 1).
Man hätte auch annehmen können, dass der gesuchte Grenzwert existiert (nennen wir ihn g) und nur den Grenzwert von [mm] (2/3)^n [/mm] bestimmen können. Dann muss gelten g=0*g, woraus man g leicht bestimmen kann. Lösung 2). Hier muss dann allerdings noch die Existenz des Grenzwerts nachgewiesen werden, also z.B. durch eine obere Schranke. Eine untere ist leichter, das ist die Null.
Dann kann man, wie Diophant vorgeschlagen hat, in Zähler und Nenner [mm] e^{3x} [/mm] ausklammern und ist schnell fertig. Lösung 3).
Oder man klammert nur [mm] e^{2x} [/mm] aus, das geht genauso schnell zu Ende. Lösung 4).
Oder man macht sich klar, dass wenn ein Grenzwert g existiert, gelten muss: [mm] g\ge{0}. [/mm] Schließlich sind Zähler und Nenner immer positiv.
Außerdem gilt immer [mm] \bruch{e^{2x}}{2+e^{3x}}\le\bruch{e^{2x}}{e^{3x}}=e^{-x}.
[/mm]
Also gilt die Ungleichungskette
[mm] 0\le g=\lim_{x\to\infty}\bruch{e^{2x}}{2+e^{3x}}\le \lim_{x\to\infty}e^{-x}=0
[/mm]
Da steht nun [mm] 0\le g\le{0}. [/mm] Also ist g=0. Lösung 5).
Ich bin irgendwie sicher, dass es noch mehr Lösungswege gibt, aber mir fällt gerade keiner mehr ein (außer vielleicht noch dem Vergleichskriterium mit unendlich vielen Möglichkeiten einer gegen Null konvergierenden Majorante...), aber es reicht bestimmt auch so schon.
> Ich bin für einen kleinen Denkstubser sehr dankbar.
Dann viel Spaß beim Denken.
> Vielleicht definiere ich für mich den uneigentlichen
> Grenzwert falsch. Hiermit ist doch einfach ein Grenzwert
> [mm]\pm \infty[/mm] gemeint, in dem Fall explizit gegen + [mm]\infty[/mm] ?
Du definierst richtig; die Aufgabe definiert falsch.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:44 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Peitho,
>
> es gibt hier eine ganze Reihe von Möglichkeiten, den
> Grenzwert zu bestimmen.
>
> > Es sei x [mm]\in \IR[/mm] . Berechnen Sie den uneigentlichen
> > Grenzwert.
>
> Der Begriff ist, wie Diophant schon angemerkt hat, hier
> nicht korrekt.
>
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x))
> > Hallo,
> >
> > leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von
> > l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch
> > differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
>
> Doch, das geht. Man muss l'Hôpital nur unendlich oft
> anwenden.
wie soll das gehen? Es muss doch ein [mm] $n\,$ [/mm] geben, so dass [mm] $\lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)$
[/mm]
unter entsprechenden Voraussetzungen existiert - das ist eine Voraussetzung,
die in der Regel von de l'Hospital mitformuliert wird. (Bzw. das folgt ggf.
mitunter mit Induktion!)
> Wenn man ihn n-mal angewendet hat (n>0), steht da
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{e^{2x}}{2+e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*\bruch{e^{2x}}{e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*e^{-x}=\cdots[/mm]
>
> Nun wissen wir, dass [mm]\lim_{x\to\infty}e^{-x}[/mm] existiert.
> Darum ist es leicht, nun auch [mm]n\to\infty[/mm] zu betrachten.
> Nach den Grenzwertsätzen dürfen wir so weitermachen:
>
> [mm]\cdots=\left(\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n\right)*\left(\lim_{x\to\infty}e^{-x}\right)=0*0=0[/mm]
>
> Das nenne ich mal Lösung 1).
Ich sehe nicht, dass man das so machen dürfte - in der Formulierung von de
l'Hospital steht nicht ohne Grund sowas wie (hier in angepasster Form)
"... und wenn [mm] $\lim_{x \to \infty} f\,'(x)(g\,'(x)$ [/mm] EXISTIERT, dann..."
Also auch der Schritt, einfach [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] da mit reinzuwurschteln,
sehe ich nicht. Wenn Du damit doch recht hast, dann würde ich dafür gerne
einen Beweis sehen - denn "aus der Standardformulierung von de l'Hospital"
geht das meines Erachtens nach keinesfalls hervor!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 21:13 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
... da hat Marcel wohl Recht.
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x))
> > > Hallo,
> > >
> > > leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von
> > > l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch
> > > differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
> >
> > Doch, das geht. Man muss l'Hôpital nur unendlich oft
> > anwenden.
>
> wie soll das gehen? Es muss doch ein [mm]n\,[/mm] geben, so dass
> [mm]\lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)[/mm]
> unter
> entsprechenden Voraussetzungen existiert - das ist eine
> Voraussetzung,
> die in der Regel von de l'Hospital mitformuliert wird.
> (Bzw. das folgt ggf.
> mitunter mit Induktion!)
Ich gestehe: das war mir entfallen.
> > Wenn man ihn n-mal angewendet hat (n>0), steht da
> >
> >
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{e^{2x}}{2+e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*\bruch{e^{2x}}{e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*e^{-x}=\cdots[/mm]
> >
> > Nun wissen wir, dass [mm]\lim_{x\to\infty}e^{-x}[/mm] existiert.
> > Darum ist es leicht, nun auch [mm]n\to\infty[/mm] zu betrachten.
> > Nach den Grenzwertsätzen dürfen wir so weitermachen:
> >
> >
> [mm]\cdots=\left(\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n\right)*\left(\lim_{x\to\infty}e^{-x}\right)=0*0=0[/mm]
> >
> > Das nenne ich mal Lösung 1).
>
> Ich sehe nicht, dass man das so machen dürfte - in der
> Formulierung von de
> l'Hospital steht nicht ohne Grund sowas wie (hier in
> angepasster Form)
> "... und wenn [mm]\lim_{x \to \infty} f\,'(x)(g\,'(x)[/mm]
> EXISTIERT, dann..."
Naja, das würde noch passen. Schließlich existiert jeder der so gebildeten Grenzwerte, wenn man ihn auf andere Weise bestimmt. Damit bleibt die Frage, ob man de l'Hospital eigentlich anwenden sollte (hier geht es ausnahmsweise nicht ums "dürfen"), wenn man den "Funktionsbruch", dessen Grenzwert bestimmt werden soll, auch anderweitig vereinfachen kann.
> Also auch der Schritt, einfach [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] da mit
> reinzuwurschteln,
> sehe ich nicht. Wenn Du damit doch recht hast, dann würde
> ich dafür gerne
> einen Beweis sehen - denn "aus der Standardformulierung
> von de l'Hospital"
> geht das meines Erachtens nach keinesfalls hervor!
Das stimmt. So vom mathematischen Gefühl her müsste man das m.E. aber beweisen können. Falls jemand ein Gegenbeispiel sieht, immer her damit. Für einen formalen Beweis habe ich im Moment definitiv keine Zeit, aber ehrlicherweise gerade auch keine Idee.
Danke jedenfalls für den begründeten Widerspruch!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 21:22 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> ... da hat Marcel wohl Recht.
>
> > > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x))
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von
> > > > l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch
> > > > differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
> > >
> > > Doch, das geht. Man muss l'Hôpital nur unendlich oft
> > > anwenden.
> >
> > wie soll das gehen? Es muss doch ein [mm]n\,[/mm] geben, so dass
> > [mm]\lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)[/mm]
> > unter
> > entsprechenden Voraussetzungen existiert - das ist eine
> > Voraussetzung,
> > die in der Regel von de l'Hospital mitformuliert wird.
> > (Bzw. das folgt ggf.
> > mitunter mit Induktion!)
wobei das mit der Induktion so auch eher schlecht als recht von mir gesagt
ist. Vielleicht sagt man eher durch "sukzessives Anwenden" oder sowas...
> Ich gestehe: das war mir entfallen.
>
> > > Wenn man ihn n-mal angewendet hat (n>0), steht da
> > >
> > >
> >
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{e^{2x}}{2+e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*\bruch{e^{2x}}{e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n*e^{-x}=\cdots[/mm]
> > >
> > > Nun wissen wir, dass [mm]\lim_{x\to\infty}e^{-x}[/mm] existiert.
> > > Darum ist es leicht, nun auch [mm]n\to\infty[/mm] zu betrachten.
> > > Nach den Grenzwertsätzen dürfen wir so weitermachen:
> > >
> > >
> >
> [mm]\cdots=\left(\lim_{n\to\infty}\left(\bruch{2}{3}\right)^n\right)*\left(\lim_{x\to\infty}e^{-x}\right)=0*0=0[/mm]
> > >
> > > Das nenne ich mal Lösung 1).
> >
> > Ich sehe nicht, dass man das so machen dürfte - in der
> > Formulierung von de
> > l'Hospital steht nicht ohne Grund sowas wie (hier in
> > angepasster Form)
> > "... und wenn [mm]\lim_{x \to \infty} f\,'(x)(g\,'(x)[/mm]
> > EXISTIERT, dann..."
>
> Naja, das würde noch passen. Schließlich existiert jeder
> der so gebildeten Grenzwerte, wenn man ihn auf andere Weise
> bestimmt. Damit bleibt die Frage, ob man de l'Hospital
> eigentlich anwenden sollte (hier geht es ausnahmsweise
> nicht ums "dürfen"), wenn man den "Funktionsbruch", dessen
> Grenzwert bestimmt werden soll, auch anderweitig
> vereinfachen kann.
>
> > Also auch der Schritt, einfach [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] da mit
> > reinzuwurschteln,
> > sehe ich nicht. Wenn Du damit doch recht hast, dann
> würde
> > ich dafür gerne
> > einen Beweis sehen - denn "aus der Standardformulierung
> > von de l'Hospital"
> > geht das meines Erachtens nach keinesfalls hervor!
>
> Das stimmt. So vom mathematischen Gefühl her müsste man
> das m.E. aber beweisen können. Falls jemand ein
> Gegenbeispiel sieht, immer her damit. Für einen formalen
> Beweis habe ich im Moment definitiv keine Zeit, aber
> ehrlicherweise gerade auch keine Idee.
>
> Danke jedenfalls für den begründeten Widerspruch!
Na, ich glaube die Sachen erst nach einem Beweis, nicht, solange es noch
keinen Gegenbeweis gibt. Aber mal ganz trivial:
Es gilt doch mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest
[mm] $$(2/3)^n=\frac{(2x)^n}{(3x)^n}\,.$$
[/mm]
Was hat denn nun [mm] $\lim_{x \to \infty}$ [/mm] da noch mit [mm] $\lim_{n \to \infty}\lim_{x \to \infty}$ [/mm] zu tun? Also mir ist da auch die Idee gar nicht klar,
wieso man da [mm] $\lim_{n \to irgendwas}$ [/mm] noch mit reinwurschteln dürfen sollte.
Oder kannst Du mal ganz präzise formulieren, wann man da [mm] $\lim_{n \to \infty}$
[/mm]
mit de l'Hôpital mit verarbeiten dürfen sollte?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 22:53 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
eigentlich sitze ich gerade an Korrekturarbeiten zu einer gar nicht mathematischen Druckvorlage, aber der unendlich oft angewandte de l'Hospital lässt mich gedanklich nicht los. Trotzdem kann ich daraus noch nichts formulieren, das man überhaupt möglicherweise beweisen könnte.
> > > > Doch, das geht. Man muss l'Hôpital nur unendlich oft
> > > > anwenden.
> > >
> > > wie soll das gehen? Es muss doch ein [mm]n\,[/mm] geben, so dass
> > > [mm]\lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)[/mm]
> > > unter
> > > entsprechenden Voraussetzungen existiert - das ist eine
> > > Voraussetzung,
> > > die in der Regel von de l'Hospital mitformuliert
> wird.
> > > (Bzw. das folgt ggf.
> > > mitunter mit Induktion!)
>
> wobei das mit der Induktion so auch eher schlecht als recht
> von mir gesagt
> ist. Vielleicht sagt man eher durch "sukzessives Anwenden"
> oder sowas...
Ja, das ist wohl besser formuliert. Genau deswegen kam ich ja auf die Fortsetzung bis ins abzählbar Unendliche.
> > > [...]
> > > Also auch der Schritt, einfach [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] da mit
> > > reinzuwurschteln,
> > > sehe ich nicht. Wenn Du damit doch recht hast, dann
> > würde
> > > ich dafür gerne
> > > einen Beweis sehen - denn "aus der
> Standardformulierung
> > > von de l'Hospital"
> > > geht das meines Erachtens nach keinesfalls hervor!
> >
> > Das stimmt. So vom mathematischen Gefühl her müsste man
> > das m.E. aber beweisen können. Falls jemand ein
> > Gegenbeispiel sieht, immer her damit. Für einen formalen
> > Beweis habe ich im Moment definitiv keine Zeit, aber
> > ehrlicherweise gerade auch keine Idee.
> >
> > Danke jedenfalls für den begründeten Widerspruch!
>
> Na, ich glaube die Sachen erst nach einem Beweis, nicht,
> solange es noch
> keinen Gegenbeweis gibt.
Das geht mir auch so. Mathematik ist im Grundsatz eben keine Glaubenssache.
> Aber mal ganz trivial:
> Es gilt doch mit einem [mm]n \in \IN[/mm] fest
> [mm](2/3)^n=\frac{(2x)^n}{(3x)^n}\,.[/mm]
Für [mm] x\not=0 [/mm] natürlich. Aber inwiefern hilft das hier weiter? Das sehe ich gerade nicht.
> Was hat denn nun [mm]\lim_{x \to \infty}[/mm] da noch mit [mm]\lim_{n \to \infty}\lim_{x \to \infty}[/mm]
> zu tun? Also mir ist da auch die Idee gar nicht klar,
> wieso man da [mm]\lim_{n \to irgendwas}[/mm] noch mit reinwurschteln
> dürfen sollte.
> Oder kannst Du mal ganz präzise formulieren, wann man da
> [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm]
> mit de l'Hôpital mit verarbeiten
> dürfen sollte?
Nein, ganz präzise kann ich das noch nicht. Aber die Idee war doch, n-mal des Herrn Markgrafen Wilhelm Franz Anton Regel anzuwenden, was (ohne weitere Umformungen) aber nicht zum Ergebnis führt. Daher eben die Idee, [mm] n\to\infty [/mm] laufen zu lassen und nicht nur [mm] \to\text{irgendwas}. [/mm] Die n-te Ableitung von Zähler und Nenner ist hier ja genau zu formulieren.
Dann aber laufen n und x beide gegen unendlich. Daher der Versuch, beide zu trennen.
Soweit die Motivation.
***
Jetzt mal zu einem anderen Beispiel, das man ebenfalls ohne die Regel des alten Marquis lösen könnte.
Nehmen wir mal [mm] f(x)=\bruch{x^2}{2+x^4} [/mm] und [mm] g(x)=\bruch{1+x^3}{3+x^4+2x^5} [/mm] und suchen [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}.
[/mm]
Da Zähler und Nenner beide gegen Null gehen, könnte man ja wieder zuschlagen, ohne nach anderen Lösungen zu suchen. Und siehe da, schon wieder werden die Ableitungen einfach nur immer ungemütlicher, kürzen sich fast nicht weg. Trotzdem bleibt der Grenzwert natürlich der, den man schon vorher hätte ermitteln können: 2.
Bleibt die Frage, ob man diesen Grenzwert nun auch nur mit de l'Hospital hätte finden können. Ich bin da etwas ratlos...
Herzliche Grüße
reverend
PS: Die Kommunikation über Korrekturmitteilung ist hier doch etwas ungemütlich. Vielleicht verlagern wir das rechtzeitig in einen anderen Teil dieses Threads oder gar in einen eigenen? Ich überlege noch, wie das am einfachsten geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 17:57 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> eigentlich sitze ich gerade an Korrekturarbeiten zu einer
> gar nicht mathematischen Druckvorlage, aber der unendlich
> oft angewandte de l'Hospital lässt mich gedanklich nicht
> los. Trotzdem kann ich daraus noch nichts formulieren, das
> man überhaupt möglicherweise beweisen könnte.
>
> > > > > Doch, das geht. Man muss l'Hôpital nur unendlich oft
> > > > > anwenden.
> > > >
> > > > wie soll das gehen? Es muss doch ein [mm]n\,[/mm] geben, so dass
> > > > [mm]\lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)[/mm]
> > > >
> unter
> > > > entsprechenden Voraussetzungen existiert - das ist eine
> > > > Voraussetzung,
> > > > die in der Regel von de l'Hospital mitformuliert
> > wird.
> > > > (Bzw. das folgt ggf.
> > > > mitunter mit Induktion!)
> >
> > wobei das mit der Induktion so auch eher schlecht als recht
> > von mir gesagt
> > ist. Vielleicht sagt man eher durch "sukzessives
> Anwenden"
> > oder sowas...
>
> Ja, das ist wohl besser formuliert. Genau deswegen kam ich
> ja auf die Fortsetzung bis ins abzählbar Unendliche.
>
> > > > [...]
> > > > Also auch der Schritt, einfach [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm]
> da mit
> > > > reinzuwurschteln,
> > > > sehe ich nicht. Wenn Du damit doch recht hast,
> dann
> > > würde
> > > > ich dafür gerne
> > > > einen Beweis sehen - denn "aus der
> > Standardformulierung
> > > > von de l'Hospital"
> > > > geht das meines Erachtens nach keinesfalls
> hervor!
> > >
> > > Das stimmt. So vom mathematischen Gefühl her müsste man
> > > das m.E. aber beweisen können. Falls jemand ein
> > > Gegenbeispiel sieht, immer her damit. Für einen formalen
> > > Beweis habe ich im Moment definitiv keine Zeit, aber
> > > ehrlicherweise gerade auch keine Idee.
> > >
> > > Danke jedenfalls für den begründeten Widerspruch!
> >
> > Na, ich glaube die Sachen erst nach einem Beweis, nicht,
> > solange es noch
> > keinen Gegenbeweis gibt.
>
> Das geht mir auch so. Mathematik ist im Grundsatz eben
> keine Glaubenssache.
>
> > Aber mal ganz trivial:
> > Es gilt doch mit einem [mm]n \in \IN[/mm] fest
> > [mm](2/3)^n=\frac{(2x)^n}{(3x)^n}\,.[/mm]
>
> Für [mm]x\not=0[/mm] natürlich. Aber inwiefern hilft das hier
> weiter? Das sehe ich gerade nicht.
Na, ich kann nun [mm] $\lim_{x \to \infty}(2/3)^n=(2/3)^n$ [/mm] hinschreiben, aber [mm] $\lim_{n \to \infty}(2/3)^n=0\,.$ [/mm]
Das Problem ist einfach: Mir ist Dein Gedankengang nicht ganz klar,
deswegen ja auch die Frage nach der Formulierung. Man könnte denken,
dass Du sowas meinst: "Wenn [mm] $\lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)$... [/mm] ",
aber da hört's dann doch schon fast auf, was soll damit sein?
[mm] "$...=a_n*\lim_{x \to \infty}f^{(n+1)}/g^{(n+1)}(x)$..."
[/mm]
ja, also, wie gesagt: Was soll nun da für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gelten? [mm] $(a_n)_n$ [/mm]
soll bei Dir eine Nullfolge (oder nur eine konvergente Folge?) sein, aber
[mm] $$\lim_{x \to \infty}f^{(n+1)}/g^{(n+1)}(x)$$
[/mm]
darf ja auch nie existieren, sonst brauchen wir einen Hilfssatz nicht,
sondern können direkt de l'Hôpital anwenden.
> > Was hat denn nun [mm]\lim_{x \to \infty}[/mm] da noch mit [mm]\lim_{n \to \infty}\lim_{x \to \infty}[/mm]
> > zu tun? Also mir ist da auch die Idee gar nicht klar,
> > wieso man da [mm]\lim_{n \to irgendwas}[/mm] noch mit reinwurschteln
> > dürfen sollte.
> > Oder kannst Du mal ganz präzise formulieren, wann man
> da
> > [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm]
> > mit de l'Hôpital mit verarbeiten
> > dürfen sollte?
>
> Nein, ganz präzise kann ich das noch nicht. Aber die Idee
> war doch, n-mal des Herrn Markgrafen Wilhelm Franz Anton
> Regel anzuwenden, was (ohne weitere Umformungen) aber nicht
> zum Ergebnis führt.
Na, bei obiger Aufgabe war das, wie gesagt, unnötig. Denn da existiert ja
schon [mm] $\lim_{x \to \infty}f\,'(x)/g\,'(x)\,.$
[/mm]
> Daher eben die Idee, [mm]n\to\infty[/mm] laufen
> zu lassen und nicht nur [mm]\to\text{irgendwas}.[/mm]
Ja, stimmt. Ich hab' das einfach nur allgemein gedacht, aber das macht ja
keinen Sinn, wenn $n [mm] \to N\,$ [/mm] läuft und wir nach [mm] $N\,$-maliger [/mm] Anwendung
von de l'Hôpital doch die Aufgabe gelöst bekämen.
> Die n-te
> Ableitung von Zähler und Nenner ist hier ja genau zu
> formulieren.
>
> Dann aber laufen n und x beide gegen unendlich. Daher der
> Versuch, beide zu trennen.
>
> Soweit die Motivation.
>
> ***
Ja, aber wie gesagt: Wir müssen erstmal genau formulieren, was wir da
eigentlich beweisen wollen. Denn bis dato komme ich einfach nur zu einer
Formulierung, wo man mit de l'Hôpital nach sukzessiver Anwendung
irgendwann doch einfach zum Ende kommt.
> Jetzt mal zu einem anderen Beispiel, das man ebenfalls ohne
> die Regel des alten Marquis lösen könnte.
>
> Nehmen wir mal [mm]f(x)=\bruch{x^2}{2+x^4}[/mm] und
> [mm]g(x)=\bruch{1+x^3}{3+x^4+2x^5}[/mm] und suchen
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}.[/mm]
>
> Da Zähler und Nenner beide gegen Null gehen, könnte man
> ja wieder zuschlagen, ohne nach anderen Lösungen zu
> suchen. Und siehe da, schon wieder werden die Ableitungen
> einfach nur immer ungemütlicher, kürzen sich fast nicht
> weg. Trotzdem bleibt der Grenzwert natürlich der, den man
> schon vorher hätte ermitteln können: 2.
>
> Bleibt die Frage, ob man diesen Grenzwert nun auch nur mit
> de l'Hospital hätte finden können. Ich bin da etwas
> ratlos...
Das sollten wir jetzt wirklich nochmal auslagern - ich denke da dann auch
gerne - wenn ich Zeit habe - drüber nach!
> Herzliche Grüße
> reverend
>
> PS: Die Kommunikation über Korrekturmitteilung ist hier
> doch etwas ungemütlich. Vielleicht verlagern wir das
> rechtzeitig in einen anderen Teil dieses Threads oder gar
> in einen eigenen? Ich überlege noch, wie das am
> einfachsten geht.
Wenn Du's weißt: Gute Idee. Anonsten: Mitteilung anhängen und einfach
per Copy and Paste die Infos da reinhauen.
Und wenn Du magst kannst Du ja auch eine eigene Frage hier im MR
stellen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo reverend,
so wie ich das verstanden habe resultiert 2/3 ^n durch n-mal anwenden von l'Hopital, weil es die innere Ableitung von exp() ist, und gemäß der Produktregel es bei n-ableiten, für exp(2x), da stehen würde: exp(2x)*2*2*2...und das eben n-mal. Und dies geht für n gegen unendlich gegen 0. Sowie exp(-x).
Verstehe ich dies richtig?
Liebe Grüße,
Peitho
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo reverend,
>
>
> so wie ich das verstanden habe resultiert 2/3 ^n durch
> n-mal anwenden von l'Hopital, weil es die innere Ableitung
> von exp() ist, und gemäß der Produktregel es bei
> n-ableiten, für exp(2x), da stehen würde:
> exp(2x)*2*2*2...und das eben n-mal. Und dies geht für n
> gegen unendlich gegen 0. Sowie exp(-x).
vergiss' diese Lösung besser - sie ist viel zu umständlich, und es ist unklar,
warum man, wenn das eine generelle Methode wäre, dort noch $n [mm] \to \infty$
[/mm]
laufen lassen darf. Wenn man hier aber sieht, dass man schon nach einmaligem
Anwenden von de l'Hôpital auf den Grenzwert [mm] $0\,$ [/mm] kommt, klappt das ganze
bei reverend auch, weil er hier prinzipiell dann nur noch ganz kompliziert [mm] $0=\lim_{n \to \infty} [/mm] 0$ hinschreibt.
Ich hab' das aber doch schon kommentiert, dass dieses [mm] "$\infty$-malig [/mm]
anwenden von de l'Hôpital" nicht geht. Es kann sein, dass man mit der Regel
von de l'Hopital nach [mm] $n\,$-maligem [/mm] Anwenden zu einem Ergebnis kommt, aber
dann unter Beachtung, dass auch [mm] $\lim_{x \to x_0} f^{(n)}(x)/g^{(n)}(x)$ [/mm]
existiert - da läßt man dann nicht zudem noch $n [mm] \to \infty$ [/mm] danach laufen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Peitho |
Hallo Marcel,
vielen Dank für die ausführliche Beschreibung. Ich werde mich davor hüten in der Klausur l'Hopital n-mal anzuwenden.
Interessant fand ich den Gedanken trotzdem. Aber zum Glück ist die Lösung so viel einfacher.
Liebe Grüße,
Peitho
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für die ausführliche Beschreibung. Ich werde
> mich davor hüten in der Klausur l'Hopital n-mal
> anzuwenden.
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Du darfst de l'Hôpital durchaus ggf. [mm] $n\,$-mal [/mm] anwenden, nur nicht
mit $n [mm] \to \infty\,$ [/mm] verbinden. D.h. "das ENDLICH OFTE Anwenden von de
l'Hôpital" ist weniger das Problem, sondern eher, WENN da erst ein Grenzwert
für $n [mm] \to \infty$ [/mm] entsteht. (Bei reverend steht da eigentlich eh schon die
[mm] $0\,$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] da...)
Zum Beispiel kannst Du durch [mm] $n\,$-maliges [/mm] anwenden von de l'Hôpital
zeigen, dass [mm] $\lim_{x \to \infty} P_n(x)/\exp(x)=0\,,$ [/mm] wobei [mm] $P_n$ [/mm] eine Polynomfunktion
vom Grad [mm] $n\,$ [/mm] ist.
> Interessant fand ich den Gedanken trotzdem. Aber zum Glück
> ist die Lösung so viel einfacher.
Ich finde die gedankliche Idee interessant, aber mir ist nicht klar, wie man
sowas verallgemeinert überhaupt nur formulieren könnte.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Peitho,
ja, so wars gemeint. Aber...
> so wie ich das verstanden habe resultiert 2/3 ^n durch
> n-mal anwenden von l'Hopital, weil es die innere Ableitung
> von exp() ist, und gemäß der Produktregel es bei
> n-ableiten, für exp(2x), da stehen würde:
> exp(2x)*2*2*2...und das eben n-mal. Und dies geht für n
> gegen unendlich gegen 0. Sowie exp(-x).
>
> Verstehe ich dies richtig?
...beachte auch die Kritik von Marcel. Die kann man nicht einfach aushebeln. Natürlich reicht auch einmal de l'Hospital, weil man danach genauso verfahren kann, wie man es von Anfang an gekonnt hätte. Also braucht man ihn eigentlich gar nicht. Mir ging es nur darum, die Vorgehensweise nicht von vornherein auszuschließen, weil sie von der Denkweise eben nach unendlich vielen Schritten zum Erfolg führen würde. Nur dass eben unendlich viele Schritte so nicht erlaubt sind.
Ob das also vielleicht doch geht, hängt jetzt an einem noch nicht vorliegenden und viel weiter reichenden Beweis. Insofern kann man Dir nur abraten, so eine Lösung einzureichen, es sei denn, Du kannst den Beweis selbst führen.
Trotzdem ist es manchmal hilfreich, schonmal vorab einen Grenzwert zu "wissen". Es erleichtert einem oft, dann auch einen gültigen Weg zu finden.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Peitho,
>
> ja, so wars gemeint. Aber...
>
> > so wie ich das verstanden habe resultiert 2/3 ^n durch
> > n-mal anwenden von l'Hopital, weil es die innere Ableitung
> > von exp() ist, und gemäß der Produktregel es bei
> > n-ableiten, für exp(2x), da stehen würde:
> > exp(2x)*2*2*2...und das eben n-mal. Und dies geht für n
> > gegen unendlich gegen 0. Sowie exp(-x).
> >
> > Verstehe ich dies richtig?
>
> ...beachte auch die Kritik von Marcel. Die kann man nicht
> einfach aushebeln. Natürlich reicht auch einmal de
> l'Hospital, weil man danach genauso verfahren kann, wie man
> es von Anfang an gekonnt hätte. Also braucht man ihn
> eigentlich gar nicht. Mir ging es nur darum, die
> Vorgehensweise nicht von vornherein auszuschließen, weil
> sie von der Denkweise eben nach unendlich vielen Schritten
> zum Erfolg führen würde. Nur dass eben unendlich viele
> Schritte so nicht erlaubt sind.
>
> Ob das also vielleicht doch geht, hängt jetzt an einem
> noch nicht vorliegenden und viel weiter reichenden Beweis.
> Insofern kann man Dir nur abraten, so eine Lösung
> einzureichen, es sei denn, Du kannst den Beweis selbst
> führen.
>
> Trotzdem ist es manchmal hilfreich, schonmal vorab einen
> Grenzwert zu "wissen". Es erleichtert einem oft, dann auch
> einen gültigen Weg zu finden.
wie gesagt: Du schreibst nach dem ersten Anwenden von de l'Hôpital
eigentlich nur "kompliziert" [mm] $0=\lim_{n \to \infty} 0\,,$ [/mm] wenn man es
sich genau anguckt. Aber als Korrektor ist man dann auch echt in der
Zwickmühle: Der Gedankengang ist so nicht klar, oder es bedarf zusätzlicher
Formulierungen inklusive Beweis. Aber "eigentlich" wird deswegen hier "falsch"
vorgegangen, aber an keiner Stelle steht wiederum wirklich was falsches.
Dass [mm] $0=(2/3)^n*0=\lim_{n \to \infty}...$ [/mm] ist, ist ja nun auch wiederum nicht
falsch...
Mit anderen Worten: Es ist echt schwer, diese Lösung wirklich als falsch zu
deklarieren, auch, wenn man weiß, dass Du da Sachen in einer Art und Weise
benutzen willst, wie es mit den vorgegebenen Mitteln eigentlich nicht erlaubt
ist. Von daher:
Kunststück. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
P.S. Ist auch keine bösartig gemeinte Kritik, aber ich denke, dass Du das eh
weißt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
vorab:
> P.S. Ist auch keine bösartig gemeinte Kritik, aber ich
> denke, dass Du das eh
> weißt.
Puuh. Ich fürchtete zeitweilig, den erhobenen Zeigefinger, das Stirnrunzeln und die Irritation in der Stimme doch als ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]") einordnen zu müssen oder wenigstens als ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") , mit nur wenig und viel ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") darin...
> > Trotzdem ist es manchmal hilfreich, schonmal vorab einen
> > Grenzwert zu "wissen". Es erleichtert einem oft, dann auch
> > einen gültigen Weg zu finden.
>
> wie gesagt: Du schreibst nach dem ersten Anwenden von de
> l'Hôpital
> eigentlich nur "kompliziert" [mm]0=\lim_{n \to \infty} 0\,,[/mm]
> wenn man es
> sich genau anguckt.
Ja. Eine echte Nullnummer.
> Aber als Korrektor ist man dann auch
> echt in der
> Zwickmühle: Der Gedankengang ist so nicht klar, oder es
> bedarf zusätzlicher
> Formulierungen inklusive Beweis. Aber "eigentlich" wird
> deswegen hier "falsch"
> vorgegangen, aber an keiner Stelle steht wiederum wirklich
> was falsches.
Genau das gibt mir zu denken, ob es nicht doch möglich ist, die Lücke zu füllen. Wie auch immer.
> Dass [mm]0=(2/3)^n*0=\lim_{n \to \infty}...[/mm] ist, ist ja nun
> auch wiederum nicht
> falsch...
>
> Mit anderen Worten: Es ist echt schwer, diese Lösung
> wirklich als falsch zu
> deklarieren, auch, wenn man weiß, dass Du da Sachen in
> einer Art und Weise
> benutzen willst, wie es mit den vorgegebenen Mitteln
> eigentlich nicht erlaubt
> ist. Von daher:
>
> Kunststück.
Aber ein zufälliges. Trotzdem danke für die ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") . Ich ziehe, wie so oft, den ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") vor Deiner Gründlichkeit.
Herzlich,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> vorab:
> > P.S. Ist auch keine bösartig gemeinte Kritik, aber ich
> > denke, dass Du das eh
> > weißt.
>
> Puuh. Ich fürchtete zeitweilig, den erhobenen Zeigefinger,
> das Stirnrunzeln und die Irritation in der Stimme doch als
> einordnen zu müssen oder wenigstens als
> , mit nur wenig und viel
> darin...
>
ein bisschen gab's neben dem schon.
> > > Trotzdem ist es manchmal hilfreich, schonmal vorab einen
> > > Grenzwert zu "wissen". Es erleichtert einem oft, dann auch
> > > einen gültigen Weg zu finden.
> >
> > wie gesagt: Du schreibst nach dem ersten Anwenden von de
> > l'Hôpital
> > eigentlich nur "kompliziert" [mm]0=\lim_{n \to \infty} 0\,,[/mm]
> > wenn man es
> > sich genau anguckt.
>
> Ja. Eine echte Nullnummer.
> > Aber als Korrektor ist man dann auch
> > echt in der
> > Zwickmühle: Der Gedankengang ist so nicht klar, oder es
> > bedarf zusätzlicher
> > Formulierungen inklusive Beweis. Aber "eigentlich" wird
> > deswegen hier "falsch"
> > vorgegangen, aber an keiner Stelle steht wiederum
> wirklich
> > was falsches.
>
> Genau das gibt mir zu denken, ob es nicht doch möglich
> ist, die Lücke zu füllen. Wie auch immer.
Naja, die Kunst, [mm] $0=\lim_{n \to \infty}0$ [/mm] da möglichst kompliziert zu verpacken,
scheint mir nicht so, dass das als "Rettung" für eine andere Aussage klappen
könnte. Zumal diese Aussage ja auch erstmal genau formuliert werden muss.
Das erinnert mich daran, dass Mathematiker die so schwer im Kopf zu
behaltende Gleichung [mm] $1+1=2\,$ [/mm] sich doch viel besser merken können:
$$1+1=2 [mm] \iff (\sin^2(x)+\cos^2(x))+1=2 \iff [/mm] ...$$
wobei man dann den Sinus/Kosinus durch seine Taylorreihe ersetzt, dann das
Cauchyprodukt anwendet etc. pp.
Da gab's mal eine witzige Powerpoint-Präsentation zu.
> > Dass [mm]0=(2/3)^n*0=\lim_{n \to \infty}...[/mm] ist, ist ja nun
> > auch wiederum nicht
> > falsch...
> >
> > Mit anderen Worten: Es ist echt schwer, diese Lösung
> > wirklich als falsch zu
> > deklarieren, auch, wenn man weiß, dass Du da Sachen in
> > einer Art und Weise
> > benutzen willst, wie es mit den vorgegebenen Mitteln
> > eigentlich nicht erlaubt
> > ist. Von daher:
> >
> > Kunststück.
>
> Aber ein zufälliges. Trotzdem danke für die .
> Ich ziehe, wie so oft, den vor Deiner
> Gründlichkeit.
Auch Dir Danke für die
Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei x [mm]\in \IR[/mm] . Berechnen Sie den uneigentlichen
> Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] exp(2x) / (2 + exp(3x))
> Hallo,
>
> leider komme ich mal wieder nicht weiter. Die Regel von
> l'Hopital bringt mich hier auch nicht weiter, da durch
> differenzieren sich der exponential nicht auflösen lässt.
ich frage mich gerade, was hier eigentlich gerechnet wurde? Diophant hat
ja direkt gesagt, dass Du [mm] $\exp(3x)$ [/mm] im Zähler und Nenner jeweils
ausklammern kannst - dann ist alles klar, wenn man die Rechenregeln für
konvergente Folgen (bzw. analoges für Funktionsgrenzwerte) kennt.
De l'Hôpital kann man auch anwenden, man braucht das auch nur ein einziges
mal zu tun:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{\exp(2x)}{2+\exp(3x)}=\lim_{x \to \infty} \frac{(\exp(2x))\,'}{(2+\exp(3x))\,'}=\lim_{x \to \infty} \frac{2*\exp(2x)}{3*\exp(3x)}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{2}{3}*\lim_{x \to \infty}\frac{\exp(2x)}{\exp(3x)}=\frac{2}{3}*\lim_{x \to \infty}\exp(2x-3x)=\frac{2}{3}*\lim_{x \to \infty}\exp(-x)=\frac{2}{3}*0=0\,.$$
[/mm]
(Insofern ist sogar reverends Lösung der Aufgabe nicht wirklich falsch, aber
ich finde ein [mm] $\infty$-maliges [/mm] Anwenden einer Regel, um danach dann
[mm] $\lim_{n \to \infty}0=0\,$ [/mm] noch zu benutzen, doch etwas umständlich...)
Dann kann man die Aufgabe auch direkt lösen mit
$$0 [mm] \le \frac{\exp(2x)}{2+\exp(3x)} \le \exp(2x-3x)=\exp(-x)\,.$$
[/mm]
(Ich glaube, auch das wurde schonmal vorgeschlagen.) Aber wir können uns
nun auch "totrechnen" - und dafür finde ich die Aufgabe nicht als wichtig genug.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
