Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das uneigentliche reelle Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}.
[/mm]
Hinweis: Es gilt [mm] \integral_{r}^{R}{\bruch{sin(x)}{x} dx} [/mm] = Im [mm] \integral_{r}^{R}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}
[/mm]
für 0<r<R. Bestimmen Sie letzteren Ausdruck durch Integration entlang des Kreisringsegments mit Eckpunkten r, ir, iR und R. |
Hallo,
ich glaube, ich wurde in der Vorlesung etwas abgehangen. Mir fehlt sowohl jeglicher Ansatz als auch das theoretische Hintergrundwissen, um diese Aufgabe zu lösen. Was genau ist mit dem Kreisringsegment gemeint und wie kann man entlang des Segments mit den genannten Eckpunkten integrieren? Läuft das auf Kurvenintegrale hinaus? Mir fehlt scheinbar einfach der Einstieg in das Thema, daher würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand behilflich sein und mir erläutern könnte, was man zur Lösung dieser Aufgabe wissen muss.
Viele Grüße
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Hallo,
> Berechnen Sie das uneigentliche reelle Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{x} dx}.[/mm]
> Hinweis: Es
> gilt [mm]\integral_{r}^{R}{\bruch{sin(x)}{x} dx}[/mm] = Im
> [mm]\integral_{r}^{R}{\bruch{e^{iz}}{z} dz}[/mm]
> für 0<r<R.
> Bestimmen Sie letzteren Ausdruck durch Integration entlang
> des Kreisringsegments mit Eckpunkten r, ir, iR und R.
> Hallo,
> ich glaube, ich wurde in der Vorlesung etwas abgehangen.
> Mir fehlt sowohl jeglicher Ansatz als auch das theoretische
> Hintergrundwissen, um diese Aufgabe zu lösen. Was genau
> ist mit dem Kreisringsegment gemeint und wie kann man
> entlang des Segments mit den genannten Eckpunkten
> integrieren? Läuft das auf Kurvenintegrale hinaus?
Ja, so ist es. Paramtrisiere daher erst einmal den vorgebenen Weg. Und dann rechne einfach mal wild drauf los.
> Mir
> fehlt scheinbar einfach der Einstieg in das Thema, daher
> würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand behilflich
> sein und mir erläutern könnte, was man zur Lösung dieser
> Aufgabe wissen muss.
Check mal bei Google: "reelle Integrale mittels Funktionentheorie"
Empfehlenswert ist ab Seite 60 das folgende Skript von der Frau Baum:
![[]](/images/popup.gif) http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/FT-SS08.pdf
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Sa 23.01.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Richie,
eine Frage: Wie kommst du denn auf Skripte von Frau Baum?
Gruß,
Gono
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Ich versuche es mal. Die zusammengesetzte Kurve, die aus den vier Teilkurven von r nach ir, ir nach iR, iR nach R und R nach r besteht, ist geschlossen und daher verschwindet das Integral entlang dieser Kurve. Kann man dann die senkrechte Strecke auf der imaginären Achse von ir nach iR durch [mm] \gamma_{1}:[0,1]\rightarrow\mathbb{C},t\mapsto [/mm] ir+ti(R-r) parametrisieren? Die Kurve auf dem äußeren Bogen entspricht dem Viertelkreis um den Nullpunkt mit Radius R. Wie kann man diese parametrisieren? Wenn ich dann die drei Teilkurven habe, weiß ich, dass die Differenz zu 0 gerade dem Integral [mm] \integral_{{r}}^{R}{\bruch{e^{iz}}{z} dz} [/mm] entspricht, oder?
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Ich weiß leider wirklich nicht, wie so eine Parametrisierung aussehen soll und welche Funktion man dann entlang welcher Kurve integrieren soll. Mir fehlt da die Vorstellung. Sind das vektorielle Kurvenintegrale?
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Wieso geben die Helfer hier einander sich widersprechende Empfehlungen? Natürlich ist auch der von wauwau vorgeschlagene Weg zur Lösung möglich und vielleicht sogar hübscher, er entspricht aber nicht dem Vorschlag des Aufgabenstellers. Zumindest wäre ein Hinweis von wauwau an qwertz235 nötig gewesen, daß dies ein alternativer Lösungsweg ist. Denn sonst könnte qwertz235 den Eindruck bekommen, damit solle der ursprüngliche Integrationsweg parametrisiert werden. Und gerade mit den Parametrisierungen hat er doch seine Probleme. Das erzeugt alles nur ein Riesenchaos und ist dem Fragesteller keine Hilfe.
@ qwert235
Ich greife daher direkt den Vorschlag der Aufgabe auf. Ja, deine Parametrisierung ist korrekt. Jetzt kommt das Aber: Sie ist unnötig kompliziert, weil du mit Gewalt auf das Parameterintervall [mm][0,1][/mm] abhebst. Viel einfach wäre dies hier:
[mm]z = iy \ \text{mit} \ r \leq y \leq R[/mm]
Jetzt muß noch die Orientierung der Kurve berücksichtigt werden. Bei deinem Vorschlag wird die Strecke von unten nach oben durchlaufen, bei meinem ebenso. Wenn man die Kurve weitergeht, wird sie im Uhrzeigersinn durchlaufen. Das ist zwar prinzipiell nicht schlimm, entspricht aber nicht dem Üblichen. Die Windungszahl wäre -1 und müßte bei der Anwendung des Residuensatzes beachtet werden. Ich würde daher vorschlagen, das Gewohnte beizubehalten, also die Kurve gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen (Windungszahl 1). Dann paßt die obige Parametrisierung nicht mehr. Jetzt könnte man die Parametrisierung ändern, was aber den so hübsch einfachen Ausdruck nur komplizierter machen würde. Besser ist es, die Parametrisierung beizubehalten und den Fehler durch ein Minuszeichen vor dem Integral zu korrigieren. Du hast dieses Teilstück [mm]\gamma_1[/mm] genannt. Ich behalte das bei und rechne
[mm]\int_{\gamma_1} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{z} ~ \mathrm{d}z = - \int_r^R \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot \operatorname{i}y}}{\operatorname{i}y} ~ \mathrm{d}(\operatorname{i}y) = - \int_r^R \frac{\operatorname{e}^{-y}}{\operatorname{i}y} \cdot \operatorname{i} ~ \mathrm{d}y = - \int_r^R \frac{\operatorname{e}^{-y}}{y} ~ \mathrm{d}y[/mm]
Jetzt fehlen noch
[mm]\gamma_2[/mm]: Kreisbogen von [mm]\operatorname{i}r[/mm] nach [mm]r[/mm]
[mm]\gamma_3[/mm]: Strecke von [mm]r[/mm] nach [mm]R[/mm]
[mm]\gamma_4[/mm]: Kreisbogen von [mm]R[/mm] nach [mm]\operatorname{i}R[/mm]
Bei [mm]\gamma_2[/mm] und [mm]\gamma_4[/mm] kannst du die Standardparametrisierung für ein Kreisstück verwenden. Die richtige Orientierung von [mm]\gamma_2[/mm] würde ich nicht durch Eingreifen in die Parametrisierung herstellen, sondern durch Vorzeichenkorrektur beim Integral, wie gerade eben.
Später ist dann zu zeigen:
[mm]\int_{\gamma_2} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{z} ~ \mathrm{d}z \to - \operatorname{i} \frac{\pi}{2}[/mm] für [mm]r \to 0[/mm]
[mm]\int_{\gamma_4} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{z} ~ \mathrm{d}z \to 0[/mm] für [mm]R \to \infty[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 26.01.2016 | | Autor: | wauwau |
Nimm folgende Teilkurven:
[mm] $g_1$=r,R
[/mm]
[mm] $g_2$= [/mm] Halbkreis von R durch iR nach -R
[mm] $g_3$= [/mm] -R,-r
[mm] $g_4$= [/mm] Halbkreis von -r durch ir nach +r
da der Integrand ungerade ist Integrand(-x)=-Integrand(x) heben sich die Integrale über [mm] $g_1,g_2$ [/mm] in der Summer auf.
[mm] $g_2 [/mm] = [mm] Re^{i\varphi}$ [/mm] mit [mm] $\varphi \in [0,\pi]$
[/mm]
Ähnlich parametrisiert sich $g3$
Was passiert mit dem Integral über [mm] $g_2$ [/mm] für $R [mm] \to\infty$ [/mm] ?
was mit dem über [mm] $g_4$ [/mm] mit $r [mm] \to [/mm] 0$ ?
Achtung: Der Integrand hat einen Pol einfacher Ordnung daher ist das Integral über eine geschlossene Kurve nicht Null sondern [mm] $2i\pi$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Di 26.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Nimm folgende Teilkurven:
> [mm]g_1[/mm]=r,R
> [mm]g_2[/mm]= Halbkreis von R durch iR nach -R
> [mm]g_3[/mm]= -R,-r
> [mm]g_4[/mm]= Halbkreis von -r durch ir nach +r
>
> da der Integrand ungerade ist Integrand(-x)=-Integrand(x)
> heben sich die Integrale über [mm]g_1,g_2[/mm] in der Summer auf.
> [mm]g_2 = Re^{i\varphi}[/mm] mit [mm]\varphi \in [0,\pi][/mm]
> Ähnlich
> parametrisiert sich [mm]g3[/mm]
> Was passiert mit dem Integral über [mm]g_2[/mm] für [mm]R \to\infty[/mm]
> ?
> was mit dem über [mm]g_4[/mm] mit [mm]r \to 0[/mm] ?
>
> Achtung: Der Integrand hat einen Pol einfacher Ordnung
> daher ist das Integral über eine geschlossene Kurve nicht
> Null sondern [mm]2i\pi[/mm]
Das Integral über die von Dir vorgeschlagene geschl. Kurve ist aber =0, denn der Pol 0 ligt im Äußeren der Kurve.
FRED
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