Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Do 30.08.2007 | | Autor: | HorstMC |
| Aufgabe | Bestimmen sie alle Werte von a, für die das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty}{ (1+ax^2) / x^2 dx}
[/mm]
endlich ist |
Ich weiß nicht wie ich mit der Unendlichkeit rechen soll?
Das Ergebnis soll a=0 sein.
Die Stammfunktion ist -1/x + ax.
Soweit hab ich es schonmal..
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[mm]\int_1^{\infty}~\frac{1 + ax^2}{x^2}~\mathrm{d}x = \int_1^{\infty}~\left( \frac{1}{x^2} + a \right)~\mathrm{d}x[/mm]
Jetzt existiert aber das Integral [mm]\int_1^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x^2}[/mm], das Integral [mm]\int_1^{\infty}~a~\mathrm{d}x[/mm] aber so gut wie nie.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 30.08.2007 | | Autor: | HorstMC |
also muss man da generell nichts rechnen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Do 30.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo HorstMC,
> also muss man da generell nichts rechnen??
Genaugenommen musst du einen Grenzwert bestimmen, denn
[mm]\integral_1^\infty f(x)dx = \lim_{z\rightarrow\infty} \integral_1^z f(x)dx[/mm]
Wenn du, wie im vorliegenden Fall, die Stammfunktion [mm]F(x)=\integral f(x)dx[/mm] kennst, so musst du
[mm]\lim_{z\rightarrow\infty} F(z) -F(1)[/mm]
ausrechnen.
Jetzt frag dich selbst: wann existiert dieser Limes für die gegebene Funktion?
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 31.08.2007 | | Autor: | HorstMC |
Also ich dachte mir das so:
Bei F(1) habe ich a-1 raus.
Ich nehme für z ein sehr Große Zahl und setze diese in die Stammfunktion ein!??
Dann komm ich aber, wenn ich a-1 abziehe nicht auf a=0 ???
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> Also ich dachte mir das so:
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> Bei F(1) habe ich a-1 raus.
Du mußt ja jetzt [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{z^2}+az +\bruch{1}{1^2}- [/mm] a*1)= 1-a [mm] +\limes_{z\rightarrow\infty}(-\bruch{1}{z^2}+az) [/mm] berechnen.
Nun überlege Dir, was mit [mm] -\bruch{1}{z^2} [/mm] passiert, wenn z gegen [mm] \infty [/mm] läuft: es geht [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] gegen 0.
Also:
...=1-a [mm] +\limes_{z\rightarrow\infty}az.
[/mm]
Dieser letzte zu bestimmende Grenzwert hängt von a ab.
Was ist, wenn a>0?
Was, wenn a<0?
Was, wenn a=0?
Hieran siehst Du dann, für welches a Dein uneigentliches Integral endlich ist.
Gruß v. Angela
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