Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Fr 31.08.2007 | | Autor: | ditoX |
Hallo!
Ich habe gerade ein Verständnisproblem bei folgenden uneigentlichen Integral. Insbesondere beim zweiten Lösungsschritt, wo man ja den Limes für Lambda gegen unendlich bildet. Das Integral habe ich bereits gelöst (mit Parzialbruchzerlegung) müsste eigentlich so stimmen:
[mm] \integral_{1}^{\lambda}{\bruch{1-x}{1+x^3} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} ln(\lambda+1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} ln(\lambda^2-\lambda+1) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ln(2)
so, nun muss ja der Limes gebildet werden:
[mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3} ln(\lambda+1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} ln(\lambda^2-\lambda+1) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ln(2))
und da seh ich gerade nicht ganz klar :-(
denn [mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3} ln(\lambda+1)) [/mm] = [mm] \infty [/mm] , oder?
und [mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty} (\bruch{1}{3} ln(\lambda^2-\lambda+1)) [/mm] = [mm] \infty [/mm] ,oder?
aber [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] = nicht definiert, oder???
Wie kann dann das Endergebnis - [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ln(2) sein???
Was mache ich falsch? Oder wie geht ihr schritt für schritt vor, um diesen Limes zu bilden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> so, nun muss ja der Limes gebildet werden:
>
> [mm]\limes_{\lambda\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3} ln(\lambda+1)[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{3} ln(\lambda^2-\lambda+1)[/mm] - [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> ln(2))
> [...]
>
> Was mache ich falsch?
Hallo,
Du gehst zu plump ans Werk. Hier ist etwas Raffinesse vonnöten...
[mm] \limes_{\lambda\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3} ln(\lambda+1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} ln(\lambda^2-\lambda+1) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}ln(2))
[/mm]
=- [mm] \bruch{2}{3}ln(2) +\bruch{1}{3}\limes_{\lambda\rightarrow\infty}(2ln(\lambda+1)-ln(\lambda^2-\lambda+1)) [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}ln(2) +\bruch{1}{3}\limes_{\lambda\rightarrow\infty}(ln((\lambda+1)^2)-ln(\lambda^2-\lambda+1)) [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}ln(2) +\bruch{1}{3}\limes_{\lambda\rightarrow\infty}(ln\bruch{(\lambda+1)^2}{(\lambda^2-\lambda+1)}) [/mm] = [mm] -\bruch{2}{3}ln(2) +\bruch{1}{3}\limes_{\lambda\rightarrow\infty}(ln(1+\bruch{3\lambda}{(\lambda^2-\lambda+1)}) [/mm] =...
JETZT den Grenzwert berechnen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Fr 31.08.2007 | | Autor: | ditoX |
hmm, naja, gut, scheint zu stimmen, aber ganz schön kompliziert zu denken, um das gleich so zu sehen. Und das 2 ln(a) = [mm] ln(a^2) [/mm] is wusst ich auch nicht einfach so, aber das scheint wohl sowas zu sein, was man dann einfach wissen muss, sonst hat man schon verloren :-(
Naja, danke für die Antwort 
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>Und das 2
> ln(a) = [mm]ln(a^2)[/mm] is wusst ich auch nicht einfach so, aber
> das scheint wohl sowas zu sein, was man dann einfach wissen
> muss,
Oh ja, das muß man wissen...
Hat man in Kl. 10 gelernt.
Gruß v. Angela
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